kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

2.1. Арифметика матриц

31

3.0 + A = A;

4.A + ( A) = 0;

5.	(s + t)A = sA + tA;	(s t)A = sA tA;
6.	t(A + B) = tA + tB;	t(A B) = tA tB;
7.	s(tA) = (st)A;
8.	1A = A; 0A = 0; ( 1)A = A;
9.	tA = 0 ) t = 0 èëè A = 0:

Другие подобные свойства будут использоваться, когда нам это потребуется.

Определение 2.1.7 (Умножение матриц) Пусть A = [aij] есть матрица размера m n и B = [bjk] матрица размера m p; (то есть, число столбцов A равно числу строк B). Тогда AB есть m

p матрица C = [cik; ] у которой (i; k)-тый элемент определяется по формуле

							n		= ai1b1k + + ainbnk:
						cik = Pj=1
							3 4 7 8 3 5 + 4 7 3 6 + 4 8
Пример 2.1.2						1.	1	2	5	6 =		1	5 + 2	7 1	6 + 2 8 =
	43 50 ;
	19			22			31 46			6= 3 4 7			8 ;
2.	7	8 3 4 =
	5	6			1	2	23	34		1	2	5	6
3.	2		3 4 = 6 8 ;
	1				1	3	4
4.	3					= [11];
		4			2

32	1 1	1 0	Глава 2. Матрицы
1			0
5. 1	1 1	1 = 0	0 :

Умножение матриц удовлетворяет нескольким подобным законам из арифметики за исключением закона коммутативности.

1.(AB)C = A(BC) если A; B; C имеют размеры m n; n p; p q; соответственно;

2.t(AB) = (tA)B = A(tB); A( B) = ( A)B = (AB);

3.(A+B)C = AC+BC если A и B имеют размер m n и C есть n p матрица;

4.D(A + B) = DA + DB если A и B имеют размер m n и D есть p m матрица.

Мы докажем только закон ассоциативности

=	p		n	aijbjkckl:
	p		j=1	P	p	n
((AB)C)il =	Pk=1				k=1	P
	k=1	(AB)ikckl =				j=1 aijbjk ckl
	P	P

Подобным образом

n	p
XXk
(A(BC))il =	aijbjkckl:
j=1	=1

Однако, двойные суммы равны. Cуммы вида

n	p	p n
XXk		XX
	djk è	djk
j=1	=1	k=1 j=1

представляют сумму np элементов прямоугольной таблицы [djk], по строкам и по столбцам, соответственно. Следовательно,

((AB)C)il = (A(BC))il

2.1. Арифметика матриц

33

для 1 i m; 1 l q. Значит (AB)C = A(BC).

Система m линейных уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12x2 + + a1nxn	= b1
a21x1 + a22x2 + + a2nxn	= b2

								.
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
эквивалентна простому матричному уравнению
2a21	a22		a2n	32x23				2b23
a11	a12	.	a1n	76	x1	7		b1	7
6 .					.		=	6 .		;
6am1 am2			amn76xn7					6bn7
6				76		7		6	7
4				54		5		4	5

òî åñòü AX = B; ãäå A = [aij] åñòü матрица коэффициентов систе-

ìû,		2x2	3	ýòî вектор неизвестных è		2b2	3
		x1	7			b1	7
	X =	6 .			B =	6 .		åñòü вектор
		6xn7				6bm7
		6	7			6	7
констант4.			5			4	5

Есть также другое полезное матричное уравнение эквивалентное привед¼нной выше системе линейных уравнений

	2a21 3			2a22 3			2a2n 3				2b2 3
	a11	7		a12	7		6	a1n	7		6	b1	7
x1	6 .		+ x2	6 .		+ + xn		.		=		.		:
	6am1	7		6am2	7		6amn7				6bm7
	6	7		6	7		6		7		6		7
	4	5		4	5		4		5		4		5

Пример 2.1.3 Система

x + y + z	=	1
x y + z	=	0

эквивалентна матричному уравнению

34					2y	3				Глава 2. Матрицы
	1		1 1				= 1		0
					x	5
					4z
	1	1		1
и уравнению	1			1 + z			1		0
x		+ y						=		:
	1			1			1		1

2.2. Линейные преобразования

35

2.2Линейные преобразования

Вектор-столбец размерности n есть n 1 матрица над F . Множество всех n-размерных векторов-столбцов обозначается через F n.

Каждая матрица ассоциируется с важным видом функции, которая называется линейным преобразованием.

Определение 2.2.1 (Линейное преобразование) Мы можем ас-

социировать с матрицей A		2	M	m n	(F ); функцию T : F n		!	F m,
						n. Более
						A	точно,
определ¼нную как TA(X) = AX äëÿ âñåõ X 2 F
используя компоненты вектора, эта функция принимает вид
y1	= a11x1 + a12x2 + + a1nxn
y2	= a21x1 + a22x2 + + a2nxn
	=

ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn;

ãäå y1; y2; ; ym есть компоненты вектор-столбца TA(X).

Определ¼нная нами функция имеет следующее свойство

TA(sX + tY ) = sTA(X) + tTA(Y )

(2.1)

для всех s; t 2 F и для всех n-размерных векторов-столбцов X; Y . Имеем

TA(sX + tY ) = A(sX + tY ) = s(AX) + t(AY ) = sTA(X) + tTA(Y ):

Замечание 2.2.1 Нетрудно доказать, что если T : F n ! F m åñòü

функция удовлетворяющая уравнению 2.1, тогда T = TA, где A это m n матрица, у которой столбцами являются T (E1); : : : ; T (En), соответственно E1; : : : ; En это n-размерные единичные векторы, определ¼нные следующим образом

		203				203
		6	1	7		0
E1	=		.		; : : : ; En =	6.7
		607				617
		6		7		6 7
		4		5		4 5

36	Глава 2. Матрицы

Один из хорошо известных примеров линейного преобразования получается из поворота (x; y)-плоскости в 2-размерном евклидовом

пространстве, против часовой стрелки на радиан. При повороте точка (x; y) отображается на точку (x1; y1), ãäå

x1	=	x cos y sin
y1	=	x sin + y cos :

В евклидовом пространстве размерности 3, уравнения

x1 = x cos y sin ; y1 = x sin + y cos ; z1 = z; x1 = x; y1 = y cos z sin ; z1 = y sin + z cos ; z1 = x cos z sin ; y1 = y; z1 = x sin + z cos ;

соответствуют повороту вокруг положительных z; x и y осей, против часовой стрелки на ; ; радиан, соответственно.

Произведение двух матриц имеет отношение к произведению соответствующих линейных преобразований:

Если A есть m n матрица и B n p матрица, тогда функция TATB : F p ! F m, полученная с помощью первого применения TB, à çà-

òåì TA фактически равна линейному преобразованию TAB. Åñëè X 2 F p, то мы получаем

TATB(X) = A(BX) = (AB)X = TAB(X):

Cледующий пример полезен для выполнения поворотов в 3-d анимации.

Пример 2.2.1 Линейное преобразование, результат подходящего поворота пространства размерности 3 вокруг положительных z; x; y-

осей, против часовой стрелки на ; ;								радиан соответственно,
равно TABC, ãäå			03			20		sin 3			2					3
C = 2sin		cos		;	B =		cos			; A =		0	1		0		:
4	cos	sin	0			1	0	0	5			cos	0		sin	5
	0	0	15			40	sin	cos			4sin		0	cos

Матрица ABC имеет весьма сложный вид

2.2. Линейные преобразования									37
A(BC) =	2	0	1		0	32cos sin	cos cos	sin 3
		cos	0		sin	cos	sin	0	5
	4sin		0	cos		54sin sin	sin cos	cos

=	2	cos sin		cos cos	sin sin	sin		3	:
	cos	cos sin	sin sin	cos sin sin		sin	cos	5
	4sin	cos + cos	sin sin	sin sin + cos	sin cos	cos	cos

Пример 2.2.2 Другой пример из геометрии есть отражение плоскости относительно прямой l, которая составляет угол с положи-

тельной x-осью.

Мы приведем задачу к простому случаю, когда = 0, а уравнения преобразования есть x1 = x; y1 = y. Сначала осуществляем поворот плоскости по часовой стрелке на радиан, тем самым совмещаем l и x-ось; затем делаем отражение плоскости относительно x-оси; теперь делаем поворот плоскости против часовой стрелки нарадиан, тем самым возвращаем l в первоначальное положение.

С помощью матриц получаем уравнения преобразования

y1

sin

cos 0

1 sin ( )

cos ( )

y

x1

=

cos

sin

1

0

cos ( )

sin ( )

x

=

sin

cos sin

cos y

:

cos

sin

cos

sin

x

=

cos 2

sin 2

x

sin 2

cos 2

y

Более общее преобразование

cos y

v

y1

sin

x1

= a cos

sin

x

+

u

; a > 0;

представляет поворот, который получается с помощью и затем переноса. Такие преобразования очень важны в компьютерной графике.

38	Глава 2. Матрицы

Пример 2.2.3 Наш последний пример геометрического линейного преобразования появился в результате проектирования плоскости на прямую l, проходящую через начало координат и составляющую

угол с положительной x-осью. В этот раз мы привед¼м эту задачу к простому случаю, когда l есть x-ось и уравнения преобразования есть x1 = x; y1 = 0.

C помощью матриц мы получаем уравнения преобразования

x1		=	cos	sin	1	0 cos ( )		sin ( )		x	=
y1			sin	cos	0	0 sin ( )		cos ( )		y
			cos	0 x		cos2	cos sin		x
			sin	0 y	= sin cos		sin2		y :

2.3. Рекуррентные отношения

39

2.3Рекуррентные отношения

Определение 2.3.1 (Единичная матрица) n n матрица Ln =

[ ij]; определ¼нная так ij = 1 åñëè i = j; ij = 0 если i 6= j; называется n n единичной матрицейn: Другими словами, столбцы единичной

матрицы порядка n являются единичными векторами E1; ; En, соответственно.

Например, I2 = 0	1 :
1	0
Теорема 2.3.10(k-òàÿ	степень матрицы) Если				A	åñòü	n n	мы определим	A	k
		k+1	k	A äëÿ k 0.
рекуррентно: A = In è A			= A

Например, A1 = a0A = InA = A è A2 = A1A = AA:

Обычные законы для показателей степеней выполняются, благодаря AB = BA:

1. AmAn = Am+n; (Am)n = Amn;

2. (AB)n = AnBn;

3. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;

4. (A + B)n = Pn (n)AiBn i;

i=0 i

5. (A + B)(A B) = A2 B2.

Теперь мы перейд¼м к основному свойству натуральных чисел

Аксиома 2.3.1 (Математическая индукция) Если Pn обозна- чает математическое утверждение для каждого n 1 такое, что

(i)P1 истинно,

(ii)из истинности Pn следует, что Pn+1 истинно для всех n 1, тогда Pn истинно для всех n 1.

40	Глава 2. Матрицы

7 4

Пример 2.3.1 Пусть A = 9 5 . Доказать, что

An =	1 + 6n	1	4n		åñëè n 1:
	9n			6n

Решение. Мы используем принцип математической индукции. Пусть Pn есть следующее утверждение

An =	1 + 6n	4n	:
	9n 1 6n
Тогда P1 утверждает, что
9 1 1 6 1 9 5
A1 = 1 + 6 1 4 1		=	7 4	;

и это утверждение истинно. Пусть теперь n 1 и предположим, что Pn истинно. Мы должны доказать, что

An+1 =	9(n + 1) 1 ( n + 1) =			9n 9 5 6n	:
	1 + 6(n + 1) 4(n + 1)			7 + 6n 4n + 4
An+1 = AAn
	=	1 9n 1 6n 9 5
		+ 6n 4n	7	4
		( 9n)7 + (1 6n)( 9) ( 9n)4 + (1 6n)( 5)
Имеем	=	(1 + 6n)7 + (4n)( 9)		(1 + 6n)4 + (4n)( 5)

=	7 + 6n 4n + 4	;
	9n 9 5 6n

значит, по предположению индукции, утверждение Pn+1 справедли- âî.

Последний пример имеет применение к решению системы рекуррентных отношений:

Пример 2.3.2 Следующая система рекуррентных отношений имеет место для всех n 0: