I.1.1.3.2.2.Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления, используемая в компьютерах из-за своей простоты и состоящая только из двух цифр - 0 и 1.

Простота выполнения операций в двоичной системе счисления следует из:

- простотой аппаратной реализации: 1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала;

- самое сложное действие при умножении — это 12 × 12 = 12, а при сложе-нии — 12 + 12 = 102.

В двоичной системе при сложении двух единиц счисления получаем де-сять т.к. в этой системе цифры заканчиваются на 1, и после нее идет наиме-ньшее двузначное число -10 (записывают как - 102)^.

Эта соответствует тому, когда в десятичной системе к девяти прибавляют один: 910 + 110 = 1010. В десятичной системы на девятке цифры закончены, и затем следует наименьшее двузначное число десять (1010).

Двойка в виде нижнего индекса числа означает, что числа записаны в двоичной системе.

При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывают в виде нижнего индекса.

I.1.1.3.2.2.1.Таблицы умножения и сложения в двоич-

НОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Используя описанные выше действия, можно записать таблицы умноже-ния и сложения для двоичной системы. При этом таблица сложения будет сложнее таблицы умножения.

Таблица I.1.1.3.2.2.1.-1.

Умножение двоичных чисел

×| 0 1

0| 0 0

1| 0 1

Т.е. 0х0=0; 0x1=0; 1х0=0 и 1х1=1

Таблица I.1.1.3.2.2.1.-2.

Сложение двоичных чисел

+| 0 1

0| 0 1

1|1 102

Т.е. 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1 и 1+1=102

I.1.1.3.2.2.2. Натуральные двоичные числа

Цифровую запись каждого следующего натурального двоичного числа мо-жно получить, используя основное свойство натуральных чисел – следую-щее число больше предыдущего на 1.

Поэтому для получения следующего двоичного числа после 12 прибавим к 12 число 12 и получим 12 + 12 = 102, т. е. «десять».

Отсюда имеем соответствие (перевод чисел одной системы – десятичной, в другую – двоичную):

210 = 12 + 12 = 102.

Аналогично посчитаем следующие двоичное числа, т. е. к 102 прибавим 12. В результате десятичному числу 310 будет соответствовать двоичное число 112 (Таблица I.1.1.3.2.2.2.-1.)

Продолжая аналогичным образом, заполним всю таблицу соответствия де-сятичных и двоичных чисел от 0 до 16.

Таблица I.1.1.3.2.2.2.-1.

Первые двоичные натуральные числа от 0 до 16.

ЧИСЛА

№ п/п Десятичное Двоичное

1 010 0

2 110 1

210 102

310 112

410 1002

510 1012

610 1102

710 1112

810 10002

910 10012

1010 10102

1110 10112

1210 11002

1310 11012

1410 11102

1510 11112

1610 100002

I.1.1.3.2.2.3.Количество цифр в числе

Из таблицы I.1.1.3.2.2.3.-1. следует:

- 2 одноцифровых (однознаковых) двоичных числа 0 и 1;

- 4 = 2² двухцифровых (двузначных) двоичных числа: 00, 01, 102 и 112;

- 8 = 2³ трехцифровых (трехзначных) двоичных чисел от 0002, 0012, 0102, 0112,

1002, 1012, 1102, 1112;

- 16 = 2⁴ четырехзначных двоичных чисел от 00002 до 11112.

Рассуждая аналогично и учитывая подобный опыт подсчета количества та-ких чисел для десятичной системы, получим таблицу I.1.1.3.2.2.3.-1. количес-тва двоичных чисел для соответствующих десятичных чисел.

Таблица I.1.1.3.2.2.3.-1.

Количество одно-, дву-, трехзначных и т. д. двоичных чисел

Количество цифр Двоичные Количество

в двоичном числе числа двоичных чисел

1 0,1 2 = 2¹

2 00,01,10,11 4 = 2²

3 000,001,010,011, 100,101,110,111 8 = 2³

4 16 = 2⁴

5 32 = 25

6 64 = 26

7 128 = 27

8 256 = 2⁸

9 512 = 29

10 1024 = 2¹⁰

Из этой таблицы следует, что двоичными числами можно закодировать следующее количество объектов:

- однозначными двоичными числами - только два объекта,

- двузначными — четыре объекта,

- трехзначными — восемь объектов и т. д.