Высказывания об эквивалентности

В высказываниях об эквивалентности утверждается одновременное наличие или одновременное отсутствие двух ситуаций (либо обе ситуации одновременно есть, либо их одновременно нет). Высказывания об эквивалентности выражаются, как правило, посредством предложений с союзами “если и только если, то...”, “тогда и только тогда, когда...”, “в том и только в том случае, если...”. Эквиваленция обозначается символом “º”, называемым знаком материальной эквиваленции.

Табличное определение знака материальной эквиваленции имеет следующий вид:

А	В	АºВ
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Пример высказывания об эквивалентности: “Число является четным тогда и только тогда, если оно делится на 2”.

Импликативные высказывания.

Высказывание, в котором утверждается, что наличие одной ситуации обусловливает наличие другой, называется импликативным (условным). Импликативные высказывания чаще всего выражаются предложениями с союзом “если..., то...”. Первый член импликативного высказывания носит название антецедент, а второй - консеквент. Союз “если..., то...” обозначается символом “É”. Этот символ носит название знака материальной импликации.

Табличное определение знака материальной импликации имеет следующий вид:

А	В	АÉВ
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Пример импликативного высказывания: “Для всякого числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно 2”.

Упражнения.

Определить вид сложного высказывания и выявить его логическую форму.

1. При нормальной температуре как вода, так и бензин находятся в жидком состоянии.

2. Тело движется равномерно и прямолинейно в том и только в том случае, когда на него не действуют силы, или же равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

3. Только один из двух подозреваемых: Макаров или Соболев, дал правдивые показания.

4. Неверно было бы утверждать, что уменьшение темпов инфляции обязательно приводит к росту инвестиционной активности.

Тема № 5

Классическая логика высказываний

План

1. Язык логики высказываний.

2. Табличное построение логики высказываний. Тождественно-истинные, тождественно-ложные и выполнимые формулы.

3. Логические отношения между формулами. Табличный метод установления этих отношений.

4. Логический квадрат.

5. Основные способы правильных рассуждений в логике высказываний. Табличный метод проверки этих умозаключений.

6. Сокращенный метод проверки умозаключений.

Язык логики высказываний.

В логике разработано несколько специальных искусственных языков, применяемых для описания ее законов. Один из таких искусственных языков - язык логики высказываний. Как и в естественных языках, в этом языке есть алфавит, а также сложные выражения.

Алфавит языка логики высказываний составляют:

1. Нелогические символы - параметры, на которые заменяются выражения естественного языка. Эти параметры носят название пропозициональных переменных и обозначаются прописными латинскими буквами: p, q, r, s, p`, p``... и т.д.

2. Логические символы (внешние связки) - ù , &, v, º, É... и т.д.

3. Технические символы - левая и правая скобки: ( , ).

Любой набор этих символов называется выражением. Правильно построенное выражение называется формулой.

Определение формулы:

1. Любая пропозициональная переменная является формулой.

2. Если А - формула, то ùА - тоже формула.

3. Если А и В - формулы, то (А&В), (АvВ), (АÉВ), (АºВ) - тоже формулы.

4. Ничто иное не является формулой.

Правила интерпретации нелогических символов (пропозициональных переменных):

1. У пропозициональной переменной может быть две интерпретации (“истина” и “ложь”). Способ их чередования выглядит следующим образом:

р

и

л

2. У двух пропозициональных переменных может быть четыре интерпретации. Способ их чередования:

р q

и и

и л

л и

л л

3. У трех пропозициональных переменных может быть восемь интерпретаций. Способ их чередования следующий:

р q r

и и и

и и л

и л и

и л л

л и и

л и л

л л и

л л л

4. У четырех пропозициональных переменных может быть шестнадцать интерпретаций, у пяти - тридцать две и т.д.

Интерпретация логических символов

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение - или “истина”, или “ложь”. Приведем эти табличные определения логических констант суммированно:

1.

A	ùA
и	л
л	и

2.

А	В	А&В	АVВ	АV*В	АÉВ	АºВ
и	и	и	и	л	и	и
и	л	л	и	и	л	л
л	и	л	и	и	и	л
л	л	л	л	л	и	и