Классическая и неклассическая логики; их соотношение.

3-значная логика Лукасевича.

План

1. Разделы классической логики.

2. Принципы классической логики.

3. 3-значная логика Лукасевича.

Классической логикой называется центральный, базисный раздел современной (математической, символической) логики. У истоков классической логики стоят, наряду со многими другими исследователями, Д.Буль (1815-1864), А. де Морган (1806-1871), Б.Рассел (1872-1970).

Классическая логика включает в себя следующие разделы:

1. Логика высказываний.

2. Логика предикатов.

3. Силлогистика.

4. Логика предикатов высших порядков.

5. Теория типов Б.Рассела.

Классическая логика опирается на следующие принципы:

1. Принцип двузначности: “Всякая формула всегда принимает одно из 2-х значений - либо “истина”, либо “ложь”.” Принцип двузначности можно подразделить на следующие подпринципы:

а) Третьего значения не существует.

б) Формула обязательно принимает значение, т.е. у любой формулы всегда есть значение.

в) Формула не может одновременно принять сразу несколько значений.

2. Принцип экстенсиональности: “a и b - два правильно построенных выражения языка; если у них одинаковые значения, то в контексте К(a) можно заменить a на b. То есть:

a = b

К(a)=К(b)

Формализация принципа экстенсиональности: (t1=t2) É (A(t1) º A(t2)).

3. Корреспондентская теория истины, т.е. истинным признается то, что имеет место в действительности (“корреспонденция” - соответствие).

Неклассической логикой называется совокупность логических теорий, возникших в некоторой оппозиции к классической логике. В неклассической логике происходит отказ от трех вышеперечисленных принципов логики классической.

К примеру, отказ от принципа двузначности осуществляется:

1. В многозначных логиках, где число возможных значений высказываний больше двух.

2. В логиках с провалами значений, где допускается, что некоторые высказывания вовсе могут не иметь значений.

3. В логиках с пресыщенными оценками, где допускается, что высказывание может принимать одновременно несколько значений.

Известны два способа построения неклассических логик:

1. Как альтернатива классической логики.

2. Как расширение классической логики.

3-значная логика Лукасевича.

В 20-е годы прошлого столетия польским логиком Я.Лукасевичем (1878-1956) была построена многозначная логика, допускающая не 2, как в классической логике, а 3 истинностных значения. Лукасевич исходил из анализа 9-й главы трактата Аристотеля “Об истолкованиях”, где была поставлена проблема приписывания истинностных значений высказываниям о будущем. Суть данной проблемы состоит в том, что в рамках корреспондентской теории истины значения “истина” и “ложь” корректно приписываются лишь высказываниям о прошлом и настоящем, но не о будущем. Строго говоря, истинность или ложность одних высказываний о будущем несомненна (например: “Завтра Солнце взойдет”), тогда как других - более чем сомнительна. Если истинностные значения сегодня приписываются высказываниям о том, что произойдет (или не произойдет) завтра, то это приводит к так называемому логическому фатализму. Проблема состоит в том, что фаталистические мировоззренческие следствия выводятся из логического принципа двузначности.

Данную проблему можно продемонстрировать более наглядно. Обозначим символами Т, F, N соответственно “истинно”, “ложно”, “неизбежно”. Высказывание: “Завтра будет морское сражение” обозначим формулой А. Осуществим логический вывод:

1. ТА É NА (т.е., если высказывание истинно, то оно неизбежно).

2. FA É TùA.

3. TùA É NùA.

4. FA É NùA.

5. TA v FA.

6. NА v NùA.

Вывод (6) является фаталистическим (нужно было бы N(А v ùA)). То есть, как было продемонстрировано, фатализм действительно выводится из логического принципа двузначности TA v FA. Это и есть логический фатализм.

В своих логических исследованиях Ян Лукасевич исходил из мировоззренческого постулата о том, что абсолютной предопределенности мировых событий не существует. Вследствие этого Лукасевич провозгласил отказ от одного из принципов классической логики - от принципа двузначности и ввел еще одно “промежуточное” значение. Набор истинностных значений в 3-значной логике Лукасевича выглядит следующим образом:

Истина - обозначается символом “1”.

Ложь - обозначается символом “0”.

Промежуточное значение - обозначается символом “1/2”.

Алфавит языка 3-значной логики Лукасевича составляют:

1. Нелогические символы - параметры, на которые заменяются выражения естественного языка. Как и в классической логике высказываний эти параметры носят название пропозициональных переменных и обозначаются прописными латинскими буквами: p, q, r, s, p`, p``... и т.д. Однако, в отличие от классической логики, каждой переменной может быть приписано не одно из двух {И, Л}, а одно из трех значений {1, 0, 1/2}.

2. Логические символы (логические константы) - ù, &, v, É... и т.д.

3. Технические символы - левая и правая скобки: (,).

Табличные определения истинностных значений логических констант в логике Лукасевича носят названия матриц. Эти матрицы имеют следующий вид:

Матрица для отрицания

А	ùА
1	0
Ѕ	Ѕ
0	1

Матрица для конъюнкции

A&B	B = 1	B = 1/2	B = 0
A = 1	1	Ѕ	0
A = Ѕ	Ѕ	Ѕ	0
A = 0	0	0	0

Матрица для дизъюнкции

AVB	B = 1	B = 1/2	B = 0
A = 1	1	1	1
A = Ѕ	1	Ѕ	Ѕ
A = 0	1	Ѕ	0

Матрица для импликации

AÉB	B = 1	B = 1/2	B = 0
A = 1	1	Ѕ	0
A = Ѕ	1	1	Ѕ
A = 0	1	1	1

Законом 3-значной логики Лукасевича является формула, которая принимает значение 1 при любых интерпретациях входящих в нее пропозициональных переменных.

Закон исключенного третьего (из двух противоположных высказываний истинным может быть в данное время только одно) на языке классической логики высказываний выражается формулой р v ù р. Построив матрицу для этой формулы, определим, является ли закон исключенного третьего законом 3-значной логики Лукасевича:

p	р v ù р
1	1 1 0 1
Ѕ	Ѕ Ѕ Ѕ Ѕ
0	0 1 1 0

Как видно из построения, формула р v ù р принимает значение 1 не при любых интерпретациях входящих в нее пропозициональных переменных. Соответственно, закон исключенного третьего, выражаемый данной формулой, не является законом 3-значной логики Лукасевича.

Один из законов А. де Моргана на языке классической логики высказываний выражается следующей формулой: ù (p&q) É (ù p v ù q). Oпределим, является ли закон А. де Моргана законом 3-значной логики Лукасевича:

p q	ù ( p & q ) É ( ù p v ù q )
1 1	0 1 1 1 1 0 1 0 0 1
1 Ѕ	Ѕ 1 Ѕ Ѕ 1 0 1 Ѕ Ѕ Ѕ
1 0	1 1 0 0 1 0 1 1 1 0
Ѕ 1	Ѕ ЅЅ 1 1 Ѕ Ѕ Ѕ 0 1
Ѕ Ѕ	Ѕ ЅЅ Ѕ 1 Ѕ Ѕ Ѕ Ѕ Ѕ
Ѕ 0	1 Ѕ0 0 1 Ѕ Ѕ 1 1 0
0 1	1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
0 Ѕ	1 0 0 Ѕ 1 1 0 1 Ѕ Ѕ
0 0	1 0 0 0 1 1 0 1 1 0

Как видно из построения, формула ù (p&q) É (ù p v ù q) при любых интерпретациях входящих в нее пропозициональных переменных принимает значение 1, следовательно, она является законом 3-значной логики Лукасевича.

Упражнения

Определить, какие из данных формул являются законами

3-значной логики Лукасевича:

1. ù ùpÉp.

2. (pÉq) É (ùpvq).

3. (ùpvq) É (pÉq.

4. ù (p&ùp).

5. (ù p v ù q) Éù (p&q).

6. ((pÉq) Ép) Ép.

_____________________________________________________________

Список рекомендуемой литературы

1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 2000.

2. Ивлев Ю.В. Логика. М., 1992.

3. Краткий словарь по логике. Под ред. Горского Д.П. М., 1991.

4. Свинцов В.И. Логика. М., 1987.

5. Гжегорчик А. Популярная логика. М., 1972.

6. Кольман Э., Зих О. Занимательная логика. М., 1966.

7. Проблемы логики. Сборник статей. М., 1963.

8. Башилова Т.А., Орлов Г.А. и др. Упражнения по логике. М., 1990.

9. Уемов А.И. Основы практической логики. Одесса, 1997.

10. Философия и логика. Сборник статей. М., 1974.

11. Маковельский А.О. История логики. М., 1967.

12. Войшвилло Е.К. Предмет и значение логики. М., 1960.

13. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления. М., 1989.

14. Войшвилло Е.К. Понятие. М., 1967.

15. Гетманова А.Д. Логика. М., 1986.

16. Горский Д.П. Логика. М., 1963.

17. Горский Д.П. Определение. М., 1974.

18. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить. М., 1986.

19. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. М., 1987.

20. Уемов А.И. Задачи и упражнения по логике. М., 1967.

21. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М., 1967.

22. Формальная логика. Л., 1977.

23. Поварнин С.И. Искусство спора. М., 1923.

24. Сборник упражнений по логике. Под ред. Клевчени А.С. Минск, 1981.

25. Рузавин Г.И. Методы научного исследования. М., 1974.

СОДЕРЖАНИЕ

___________________________________________________

Тема № 1. Предмет логики.....................................................................

Тема № 2. Логический анализ языка......................................................

Тема № 3. Логический анализ высказываний.........................................

Тема № 4. Сложные высказывания. Их виды и условия истинности....

Тема № 5. Классическая логика высказываний........................................

Тема № 6. Силлогистика...........................................................................

Тема № 7. Система натурального вывода в логике высказываний....

Тема № 8. Классическая логика предикатов. Язык логики предикатов...

Тема № 9. Метод аналитических таблиц в логике предикатов............

Тема № 10. Классическая и неклассическая логики; их соотношение

3-значная логика Лукасевича...............................

Список рекомендуемой литературы..........................................................