Логический квадрат

Отношения между атрибутивными высказываниями (суждениями) с одними и теми же терминами изображаются посредством схемы, называемой логическим квадратом:

Схема №4

Между суждениями форм А и I, а также форм Е и О имеет место отношение подчинения. Между суждениями форм А и Е - контрарности, а I и О - субконтрарности. Суждения логических форм А и О, а также Е и I находятся в отношении контрадикторности.

Основные способы правильных рассуждений в логике высказываний. Табличный метод проверки этих умозаключений.

Выводами логики высказываний называются умозаключения, в которых при осуществлении вывода внутренняя структура простых высказываний не учитывается.

1. Чисто условные умозаключения.

Чисто условными называются умозаключения, посылки и заключения у которых есть импликативные высказывания.

Одним из видов чисто условных умозаключений является контрапозиция - умозаключение следующей логической формы:

АÉВ

ù ВÉù А

Пример:

Если человек - преступник, то он аморален.

Если человек не аморален, то он не преступник.

Проверим правильность контрапозиции, построив таблицу истинности:

А В	АÉВ	ù ВÉù А
и и	и	и
и л	л	л
л и	и	и
л л	и	и

Как видно из таблицы, из формулы АÉВ логически следует формула ùВÉùА, значит умозаключение является правильным.

Другой вид чисто условных умозаключений - транзитивность импликации. Она имеет следующую логическую форму:

АÉВ, ВÉС

АÉС

Проверим правильность этого умозаключения, построив таблицу истинности:

А В С	АÉВ	ВÉС	АÉС
и и и	и	и	и
и и л	и	л	л
и л и	л	и	и
и л л	л	и	л
л и и	и	и	и
л и л	и	л	и
л л и	и	и	и
л л л	и	и	и

Как видно из анализа таблицы, следование от АÉВ и ВÉС к АÉС имеет место, значит умозаключение является правильным.

Пример данного умозаключения: “Если медицина развивается, то появляется больше возможностей защитить человека от болезней. Если появляется больше возможностей защитить человека от болезней, то средняя продолжительность жизни человека возрастает. Следовательно, если медицина развивается, то средняя продолжительность жизни человека возрастает”.

2. Условно-категорические умозаключения.

Это умозаключения, в которых одна посылка - импликативное высказывание, а вторая совпадает либо с антецедентом, либо с консеквентом импликативного высказывания, или же с результатом отрицания антецедента или консеквента импликативного высказывания. Заключение тоже совпадает с антецедентом, либо с консеквентом импликативного высказывания, или же с результатом отрицания антецедента или консеквента импликативного высказывания.

Пример:

Если у человека повышенная температура, то он болен.

У человека повышенная температура.

Человек болен.

Логическая форма этого умозаключения такова:

АÉВ, А

В

Умозаключения такой формы относятся к утверждающему модусу (modus ponens).

Проверим правильность умозаключений этой формы при помощи таблицы истинности:

А В	АÉВ	А	В
и и	и	и	и
и л	л	и	л
л и	и	л	и
л л	и	л	л

Следование от формул АÉВ и А к формуле В имеется, соответственно, умозаключение верное.

Рассмотрим еще одно умозаключение:

Если гелий - металл, то он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий - не металл.

Это умозаключение имеет следующую логическую форму:

АÉВ, ùВ

ùА

Умозаключения такой формы относятся к отрицающему модусу (modus tollens).

Проверим правильность умозаключений формы modus tollens при помощи таблицы истинности:

А В	АÉВ	ù B	ù A
и и	и	л	л
и л	л	и	л
л и	и	л	и
л л	и	и	и

Следование от формул АÉВ и ùВ к формуле ùА имеется, соответственно, умозаключение формы modus tollens верное.

3. Разделительно-категорические умозаключения.

В этих умозаключениях две посылки; одни из них дизъюнктивная, а вторая - либо один из членов дизъюнкции, либо его отрицание.

Пример:

Множество является конечным, или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Логическая форма этого умозаключения такова:

АvВ, ùА

В

Умозаключения такой формы относятся к отрицающе-утверждающему модусу (modus tollendo ponens).

Проверим правильность умозаключений этой формы при помощи таблицы истинности:

А В	АvВ	ùА	В
и и	и	л	и
и л	и	л	л
л и	и	и	и
л л	л	и	л

Следование от формул АvВ и ùА к формуле В имеется, соответственно, умозаключение верное.

Примечание: modus tollendo ponens справедлив как для нестрогой, так и для строгой дизъюнкции.

Рассмотрим еще одно разделительно-категорическое умозаключение:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Это умозаключение имеет следующую логическую форму:

Аv*В, A

ùB

Умозаключения такой формы относятся к утверждающе-отрицающему модусу (modus ponendo tollens).

Проверим правильность умозаключений формы modus ponendo tollens при помощи таблицы истинности:

А В	Аv*В	A	ù B
и и	л	и	л
и л	и	и	и
л и	и	л	л
л л	л	л	и

Следование от формул Аv*В и A к формуле ùB имеется, соответственно, умозаключение формы modus ponendo tollens верное.

Примечание: modus ponendo tollens справедлив только для строгой дизъюнкции.

4. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения.

В их составе содержатся две или более импликативные посылки и одна дизъюнктивная посылка. Если в лемматических умозаключениях ровно две импликативных посылки, то они называются дилеммами, а если более - то они полилеммы. Название слова дилемма происходит от греческих слов “ди” - дважды и “лемма” - предположение. Дилеммы подразделяются на простые и сложные, конструктивные и деструктивные.

Примером простой конструктивной дилеммы служит известное рассуждение Сократа:

Если смерть - переход в небытие, то она благо.

Если смерть - переход в мир иной, то она благо.

Смерть - переход в небытие или в мир иной.

Смерть - благо.

Это сократовское умозаключение имеет следующую логическую форму:

АÉВ, СÉВ, АvС

В

Проверим правильность простой конструктивной дилеммы, построив таблицу истинности:

А В С	АÉВ	СÉВ	АvС	В
и и и	и	и	и	и
и и л	и	и	и	и
и л и	л	л	и	л
и л л	л	и	и	л
л и и	и	и	и	и
л и л	и	и	л	и
л л и	и	л	и	л
л л л	и	и	л	л

Как можно заметить, из формул АÉВ, СÉВ и АvС имеется логическое следование формулы В (АÉВ, СÉВ, АvС |= B), следовательно, простая конструктивная дилемма является правильным умозаключением.

Формы правильных дилемм основных видов указаны в следующей таблице:

	Конструктивные	Деструктивные
Простые	АÉС, ВÉС, АvВ C	AÉB, AÉC, ùBvùC ùA
Сложные	AÉB, CÉD, AvC BvD	AÉB, CÉD, ùBvùD ùAvùC

Упражнения

А. Перечислим три возможные свойства автоматического устройства, имеющего механизмы А, В и С:

1. Механизмы А и В не могут работать одновременно.

2. Механизм С работает, когда работает механизм А.

3. Обязательно работает по крайней мере один из механизмов В или С.

Вопросы:

а) Возможно ли существование устройства, обладающего всеми тремя свойствами?

б) Возможно ли существование устройства, не обладающего ни одним из трех свойств?

в) Имеется ли среди перечисленных свойств такое, наличие которого обусловлено наличием двух других свойств?

Б. Осуществить проверку умозаключений:

1. Если тело является кристаллическим, то оно имеет определенную температуру плавления. Данное тело не является кристаллическим, поскольку оно не имеет определенной температуры плавления.

2. Если философ является последовательным материалистом, то он признает познаваемость мира. Если философ признает познаваемость мира, то он не является агностиком. Следовательно, если философ не является последовательным материалистом, то он агностик.

3. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не заблуждается. Значит, он сознательно вводит в заблуждение других.

4. Если человек удовлетворен работой и счастлив в семейной жизни, то у него нет причин жаловаться на судьбу. У этого человека есть причина жаловаться на судьбу. Значит, он либо удовлетворен работой, но не счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворен работой.

В. Построив таблицы истинности, осуществить проверку правильности умозаключений следующих логических форм:

1.

АÉВ, В

А

2.

АÉ(ВÉС)

(А&B) ÉC

3.

(А&B) ÉC

AÉ(BÉC)