Энтимема

Энтимемой называется силлогизм, в котором не выражена в явной форме какая-либо его часть: большая или меньшая посылка, либо заключение.

Примеры энтимем:

1. Ртуть - металл, поэтому ртуть электропроводна.

2. Жадность заслуживает порицания, ибо всякий порок заслуживает порицания.

3. Чтобы в такого рода ситуациях проявлять великодушие, надо быть необыкновенным человеком, а наша начальница проявила великодушие именно в такой ситуации.

В энтимеме (1) пропущена большая посылка “Все металлы являются электропроводными”. В энтимеме (2) пропущена меньшая посылка “Жадность - порок”. В энтимеме (3) пропущено заключение “Наша начальница является необыкновенным человеком”.

Обоснованием для опускания посылок или заключения в силлогистических умозаключениях, осуществляемых в ходе естественного рассуждения, является простота подразумевания опущенных элементов.

Сорит. Эпихейрема.

Сорит (от греческого soros - куча) - вид сложносокращенного силлогизма, в котором опущена или большая, или меньшая посылка.

Различают два вида сорита:

1. Сорит, в котором начиная со второго силлогизма в цепи силлогизмов пропускается меньшая посылка.

2. Сорит, в котором начиная со второго силлогизма в цепи силлогизмов пропускается большая посылка.

Пример сорита первого вида:

3 - нечетное число.

Все нечетные числа - натуральные числа.

Все натуральные числа - рациональные числа.

Все рациональные числа - действительные числа.

3 - действительное число.

Структура вышепреведенного сорита такова: “Все А суть В”, “Все В суть С”, “Все С суть Д”, “Все Д суть Е”, следовательно, все А суть Е”.

Пример сорита второго вида:

Все рациональные числа - действительные числа.

Все натуральные числа - рациональные числа.

Все нечетные числа - натуральные числа.

3 - нечетное число.

3 - действительное число.

Эпихейрема (от греческого epiheirema - умозаключение) - сокращенный силлогизм, в котором обе посылки представляют собой энтимемы.

Пример эпихейремы:

Ложь заслуживает презрения, ибо она безнравственна.

Лесть есть ложь, ибо она есть умышленное изврашение истины.

Лесть заслуживает презрения.

Упражнения

Определить фигуру, состав и модус силлогизмов:

1. Все металлы - кристаллические вещества, поскольку ни одно кристаллическое вещество не является аморфным и ни один металл не аморфен.

2. Некоторые учащиеся являются троечниками. Все студенты - учащиеся. Значит, некоторые студенты - троечники.

3. Все пацифисты являются сторонниками запрещения ядерного оружия и каждый из них - противник насилия. Следовательно, всякий противник насилия выступает за запрещение ядерного оружия.

4. Всем победителям олимпиады были вручены грамоты. Никто из числа награжденных не учится в нашей группе. Следовательно, ни один член нашей группы не стал победителем олимпиады.

Тема № 7

Система натурального вывода в логике высказываний

Система натурального вывода - это система, моделирующая корректные естественные рассуждения. Следует отметить, число правильных, корректных умозаключений бесконечно и, соответственно, бесконечно число способов аргументации.

Правилами вывода в системе натурального вывода логики высказываний называются правильные способы рассуждений.

Правила вывода бывают двух видов:

1. Прямые.

2. Непрямые.

Прямые правила вывода - это аналоги правильных умозаключений, позволяющие от формул переходить к формулам.

Непрямые правила вывода соответствуют непрямым способам аргументации (например, доказательство от противного, доказательство сведением к абсурду). По этим правилам из утверждений о логическом следовании выводят новые утверждения о логическом следовании.

Прямые правила вывода:

1. Правило введения конъюнкции - обозначается символом &в:

А, В

А&В

2. Правило исключения конъюнкции - обозначается символом &и (подразделяется на два правила):

а)

А&В

А

б)

А&В

В

3. Правило введения дизъюнкции - обозначается символом Vв (подразделяется на два правила):

а)

_А_

АvB

б)

_В_

АvB

4. Правило исключения дизъюнкции - обозначается символом Vи:

АvB, ùА

В

5. Правило исключения импликации - обозначается символом Éв:

АÉВ, А

В

6. Правило исключения отрицания (снятия двойного отрицания) - обозначается символом ù и:

ù ùА

А

Непрямые правила вывода:

1. Правило введения импликации - обозначается символом Éв:

(Г, А) |- B

Г |- AÉB

(А должна быть последней из неисключенных посылок.)

Примечание: символ |- означает “выводимо”.

2. Правило введения отрицания - обозначается символом ù в:

(Г, А) |- В

(Г, А) |- ù В

Г |- ù А

(А должна быть последней из неисключенных посылок.)

Выводом формулы В из множества допущений Г называется непустая конечная последовательность формул, такая, что каждый член этой последовательности есть либо:

1. допущение из Г;

2. произвольная формула, взятая в качестве дополнительного допущения;

3. формула, полученная по одному из правил вывода из предыдущих формул.

При применении правил введения импликации (Éв) и введения отрицания (ù в) все шаги вывода (начиная с последнего допущения и вплоть до результата применения правил) исключаются из дальнейшего построения вывода; к исключенным формулам в дальнейшем запрещается применять правила вывода. Все дополнительные допущения должны быть в итоге удалены из вывода. При осуществлении вывода справа от него прописывается анализ (указывается то, на каком основании каждая из формул включена в вывод, например по какому правилу и из каких формул она получена.

Пример. Докажем, что из формул pÉq, rvs, p&ùr выводима формула q&s

(т.е. требуется обосновать выводимость pÉq, r v s, p&ù r |- q&s ).

1. pÉq допущение;

2. rvs допущение;

3. p&ùr допущение;

4. р &и: 3 (читается: правило исключения конъюнкции,

   примененное к 3-му шагу);

5. ùr &и: 3;

6. q Éи: 1, 4;

7. s vв: 2, 5;

8. q&s &в: 6, 7.

Таким образом доказано pÉq, rvs, p&ùr |- q&s.

Работа с правилом введения импликации

В тех случаях, когда главным знаком доказываемой формулы является знак импликации, дополнительные допущения (гипотезы) можно выбирать так: в качестве дополнительного допущения взять антецедент этой формулы; если консеквент исходной формулы имеет главным знаком импликацию, то в качестве второго дополнительного допущения взять антецедент консеквента и т.д. Из полученных гипотез требуется вывести консеквент последнего консеквента. Если это не удается, то можно взять в качестве дополнительного допущения отрицание последнего консеквента и вывести противоречие.

Докажем этим способом рvù ù q |- ù pÉ(r v q).

1. рvù ùq допущение;

Г +2. ùp дополнительное допущение;

| 3. ù ùq vв: 1, 2;

| 4. q ùи: 3;

|_ 5. r v q vв: 4;

6. ùpÉ(r v q) Éв: 2-5.

Таким образом доказано рvù ùq |- ùpÉ(r v q).

Примечание: скобка слева показывает исключенные шаги вывода.

Работа с правилом введения отрицания.

В случае, если главным знаком выводимой формулы является знак отрицания (ù ), то можно взять в качестве дополнительного допущения отрицание этой формулы.

Пример. Докажем этим способом р É ù q, r É q |- ù (p&r).

1. р É ùq допущение;

2. r É q допущение;

Г +3. p&r дополнительное допущение;

| 4. р &и: 3;

| 5. r &и: 3;

| 6. q Éи: 2, 5;

|_ 7. ùq Éи: 1, 4;

8. ù(p&r) ùи: 3-7.

Таким образом р É ùq, r É q |- ù(p&r).

Некоторые формулы можно выводить из пустого множества допущений:

( ) |- (pvq) É (ù pÉq).

Г +1. рvq дополнительное допущение;

| Г +2. ùp дополнительное допущение;

| |_ 3. q vи: 1, 2;

|___ 4. ùpÉq Éв: 2-3;

5. (pvq) É (ùpÉq) Éв: 1-4 .

Таким образом доказано ( ) |- (pvq) É (ùpÉq).

Доказательством формулы А называется ее вывод из пустого множества допущений. Формула А называется теоремой, если и только если существует вывод Г |- А такой, что множество допущений Г является пустым.

Упражнения

А. Осуществить вывод:

1. ùp&q, pvs |- q&s.

2. pÉùq, qvr, p |- rvs.

3. pÉr |- (p&q) Ér.

4. (pvq) Ér |- qÉr.

5. pÉq, pÉùq |- ùp.

6. pÉùq, pÉr |- (qvù r) Éù p.

Б. Доказать теоремы:

1. |- p Éù ù p.

2. |- (ù p Ép) Ép.

3. |- (pÉ(qÉr)) É((p&q) Ér).

4. |- pÉp.

5. |- ù (p&ù p).

Работа с конъюнкцией.

В случае, если главным знаком выводимой формулы является знак конъюнкции, то в процессе вывода рекомендуется отдельно получить первый член конъюнкции, отдельно - второй член конъюнкции, а потом совместить их, применив правило введения конъюнкции [&в].

Пример. Докажем этим способом р É (q&r) |- (pÉq) & (pÉ r).

1. р É (q&r) допущение;

Г +2. р доп. допущение (его цель - получить q);

| 3. q&r Éи: 1, 2;

|_ 4. q &и: 3;

5. pÉq Éв: 2-4;

Г +6. р доп. допущение (его цель - получение r) ;

| 7. q&r Éи: 1, 6;

|_ 8. r &и: 7;

9. pÉ r Éв: 6-8;

10. (pÉq) & (pÉ r) &и: 5, 9.

Доказана выводимость р É (q&r) |- (pÉq) & (pÉ r).

Работа с дизъюнкцией.

В случае, если главным знаком выводимой формулы является знак дизъюнкции, то в процессе вывода рекомендуется брать в качестве первого дополнительного допущения отрицание выводимой дизъюнктивной формулы, а в качестве второго дополнительного допущения - либо один из членов дизъюнкции, либо его отрицание.

Продемонстрируем этот способ на примере ù р É q |- p v q:

1. ùр É q допущение;

Г +2. ù (p v q) дополнительное допущение;

| Г+3. р дополнительное допущение;

| |_ 4. p v q vв: 3;

| 5. ùр ùв: 3-4;

| 6. q Éи: 1, 5;

|_ 7. p v q vв: 6;

8. ù ù (p v q) ùв: 2-7;

9. p v q ùи: 8.

Таким образом в девять шагов осуществлен вывод ùр É q |- p v q.

Осуществим вывод ùр É q |- p v q другим способом, взяв в качестве второго дополнительного допущения ùр:

1. ùр É q допущение;

Г +2. ù (p v q) дополнительное допущение;

| Г+3. ùр дополнительное допущение;

| | 4. q Éи: 1, 3;

| |_ 5. p v q vв: 4;

| 6. ù ù p ùв: 3-5;

| 7. р ùи: 6;

|_ 8. p v q vв: 7;

9. ù ù (p v q) ùв: 2-8;

10. p v q ùи: 9.

Вывод ù р É q |- p v q осуществлен в десять шагов.

В качестве иллюстрации синтезирования различных рекомендаций по доказательству теорем уместно привести пример двух способов достаточно сложного доказательства теоремы

ù (p&q) É (ù p v ù q)

Первый способ.

|- ù (p&q) É (ù p v ù q).

Г +1. ù (p&q) дополнительное допущение;

| Г +2. ù (ù p v ù q) дополнительное допущение;

| | Г +3. ù p дополнительное допущение;

| | |_ 4. ù p v ù q vв: 3;

| | 5. ù ù p ùв: 3-4;

| | 6. р ùи: 5;

| | Г +7. ù q дополнительное допущение;

| | |_ 8. ù p v ù q vв: 7;

| | 9. ù ù q ùв: 7-8;

| | 10. q ùи: 9;

| |_ 11. p&q &в: 6, 10;

| 12. ù ù (ù p v ù q) ùв: 2-11;

|___13. ù p v ù q ùи: 12;

14. ù (p&q) É (ù p v ù q) Éв: 1-13.

|- ù (p&q) É (ù p v ù q) доказано в 14 шагов.

Второй способ.

|- ù (p&q) É (ù p v ù q).

Г +1. ù (p&q) доп. допущение;

| Г +2. ù (ù p v ù q) доп. допущение;

| | Г +3. р доп. допущение;

| | | Г+4. q доп. допущение;

| | | |_ 5. p&q &в: 3, 4;

| | | 6. ù q ùв: 4-5;

| | |__ 7. ù p v ù q vв: 6;

| | 8. ù p ùв: 3-7;

| |____ 9. ù p v ù q vв: 6;

| 10. ù ù (ù p v ù q) ùв: 3-7;

|_____ 11. ù p v ù q ùи: 10;

12. ù (p&q) É (ù p v ù q) Éв: 1-11.

|- ù (p&q) É (ù p v ù q) доказано в 12 шагов.

Примечание. Формула ù (p&q) º (ù p v ù q) называется законом А. де Моргана. Поскольку АºВ, если и только если АÉВ и ВÉА, то, соответственно, во-первых, ù (p&q) É (ù p v ù q), а, во-вторых, (ù p v ù q) É ù (p&q).

На закуску приведем еще один пример обоснования достаточно сложной выводимости:

p É q, r É s |- (ù q vù s) É (ù p v ù r)

1. p É q допущение;

2. r É s допущение;

Г +3. ù q vù s дополнительное допущение;

| Г +4. ù(ù p v ù r) дополнительное допущение;

| | Г+5. ù p дополнительное допущение;

| | |__6. ù p v ù r vв: 5;

| | 7. ù ù p ùв: 4, 6;

| | 8. p ùи: 7;

| | 9. q Éи: 1, 8;

| | Г+10. ù r дополнительное допущение;

| | |__11. ù p v ù r vв: 10;

| | 12. ù ù r ùв: 4, 11;

| | 13. r ùи: 12;

| | 14. s Éи: 2, 13;

| | Г+15. ù q дополнительное допущение;

| | 16. ù ù q ùв: 9, 15;

| |__ 17. ù s vи: 3, 16;

| 18. ù ù (ù p v ù r) ùв: 14, 17;

|___ 19. ù p v ù r ùи: 18;

20. (ù q vù s) É (ù p v ù r) Éи: 3-19.

Таким образом выводимость p É q, r É s |- (ù q vù s) É (ù p v ù r) обоснована в 20 шагов.

Упражнения

Доказать теоремы:

1. |- (pvq) É (qvp).

2. |- (pÉq) É ( ùpvq).

3. |- pvùp.

4. |- (pv (q&r)) É (pvr).

5. |- ((p&q) Ér) É ((p&ùr) É ùq).

6. |- (pÉq) É((pÉùq) Éùp).

7. |- (pvq) Éù ( ùp&ùq).

8. |- ((pÉq) & (rvs)) É ((p&ùr) É (q&s)).

Тема №8