Классическая логика предикатов. Язык логики предикатов.

Логика предикатов – раздел логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю структуру (S – P) простых высказываний. Логика предикатов является расширенным вариантом логики высказываний.

Язык логики предикатов.

Как и в естественных языках, в языке логики предикатов имеется алфавит, а также сложные выражения. Алфавит языка логики предикатов состоит из символов 3 – х типов:

1. Нелогических.

2. Логических.

3. Технических.

Нелогические символы:

а) предикатные константы (символы для единичных имен) – a, b, c, d, a₁, b₁…; этими символами заменяются единичные имена.

б) к – местные предикаторные константы (символы для предикатов) – Pk, Qk, Rk, Sk… (k = 1, 2, 3,…). Этими символами заменяются общие имена (к – местные предикаторы) .

в) предметно-фукциональные константы f, g, f₁k…

г) предметные переменные – х, у, z, x₁, x₂…

Логические символы:

а) ù, &, Ú, É, º - логические термины, соответственно читаемые «неверно, что», «и», “или”, «если … то…», «если и только если, то…». Это знаки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности.

б) ", $ - логические термины, называемые соответственно квантором общности и квантором существования. Читаются: «все» («каждый»), «существует» («некоторые»).

Технические символы:

а) (,) – скобки;

б) , - запятая

Выражения языка логики предикатов называются формулами. Среди формул выделяют правильно построенные формулы (ППФ).

Определению ППФ предшествует определение терма (правильно построенного выражения).

Определение терма:

1. Всякая предметная константа является термом.

2. Всякая предметная переменная является термом.

3. Если функция – n – местная предметно-функциональная константа и t₁, t₂, t₃… t_n - терм, то Фn (t₁, t₂, t₃… t_n) - терм.

4. Ничто иное не является термом.

Определение правильно построенной формулы (ППФ):

1. Если Пn – n местная предикаторная константа и t₁, t₂, t₃… t_n – термы, то Пn (t₁, t₂, t₃… t_n) – формула.

2. Если А – формула, то ùА – формула.

3. Если А и В – формулы, то (А&В), (АÚВ), (АÉВ), (АºВ) – формулы.

4. Если А – формула и a - предметная переменная, то "aА и $aА – формулы.

5. Ничто иное не является формулой.

Примеры формул: "xP1(x); $x₂R2 (x₂,a₁).

Областью действия квантора "($) по переменной a в формуле "aА ($aА) является формула А. Вхождение переменной a в формулу называется связанным, если и только если a непосредственно следует за квантором или же находится в области действия квантора по переменной a. В противном случае вхождение переменной a называется свободным.

Например, переменная х имеет три вхождения в формулу ("xP1(x)ÉQ1(x)). Первое вхождение этой переменной, когда она непосредственно следует за квантором, является связанным, второе – тоже связанным (переменная х находится в области действия квантора), а третье – свободным.

Формулы (ППФ) языка логики предикатов соответствуют предложениям естественного языка, выражениям суждения, или же соответствуют словосочетаниям естественного языка, выражающим предикаты. Формулы первого вида не имеют свободных вхождений индивидных переменных, а формулы второго вида имеют такие вхождения. Например, предложение «Некоторые философы являются логиками» можно перевести на язык логики предикатов так: $xP1(x). Эта формула читается: “Существует х такой, что х есть P1“. В данную формулу входит индивидная переменная х. С переменной связывается область, из которой переменная принимает значения (область значений переменной). В данном случае областью значений переменной х является множество философов. Если изменить область значений переменной х, например считать этой областью множество любых объектов, то указанное предложение может быть выражено уже не формулой $xP1(x), а формулой $x(S1(x) & P1(x)). Последняя читается: «Существует х такой, что х есть S1 и х есть P1». S1 - символ общего имени «философ». Смысл формулы $x(S1(x)&P1(x)) таков: “Существует такой объект, который является философом и который является логиком”. Из формулы $xP1(x), соответствующей предложению, можно образовать формулу P1(x), соответствующую предикату “быть логиком”. Формула $x"уR2(x,у) читается: “Существует х такой, что для каждого у верно, что х находится в отношении R2 к у”.

Примеры перевода выражений естественного языка в формулы языка логики предикатов:

1. «4+9» соответствует формула f2 (a,b).

2. “Ö9” - g1(b).

3. “Ö4+Ö9) – f2 (g1(a), g1 (b)).

4. “Ö4+9” – g1 (f2 (a,b)).

Примечание. В примерах (1-4) «4» соответствует а, «9» соответствует b, «+» соответствует f2, «Ö ” соответствет g1.

5. “Расстояние от столицы России до Киева” – соответствует формула h2 ((f1 (a)),d).

6. “Расстояние от столицы Украины до Москвы” – h2 ((f1 (b)),c).

Примечание. В примерах 5 и 6 «Россия» - а, «Украина» – b, «Столица России» - f1 (a), «Столица Украины» - f1 (b), “Москва” – с, “Киев” – d, «Расстояние» - h2, «Расстояние от Москвы до Киева» - h2 (с,d).

7. “Кто – то является умным” – $xP1(x).

8. “Всякий является умным” – "xP1(x).

9. “Кто – то не является умным” – $xùP1(x).

10. “Не всякий является умным” - ù "xP1 (x).

Примечание. В примерах 7 – 10 «умный» - P1.

Упражнения

Выявить логические формы высказываний:

1. Всякий студент остроумен.

2. Все студенты не старше отца Ивана.

3. Некоторые студенты старше Ивана.

4. Не всякий студент старше Ивана.

5. Иван старше некоторых студентов.

6. Некоторые студенты старше некоторых преподавателей.

7. Некоторые мужчины - космонавты, но некоторые космонавты - не мужчины.

Тема № 9