3.6.3 Энергия магнитного поля токов

При протекании по проводам постоянного тока вся мощность, развиваемая источником э. д. с., идет на выделение джоулевого тепла. Не так обстоит дело при непостоянных, возрастающих или убывающих токах. При возрастании тока в контуре возникает, как мы видели, ток самоиндукции, направленный против тока, возбуждающего э.д.с. В результате, сила тока будет меньше, причем только часть работы, совершаемой внешней э. д. с, пойдет на выделение джоулева тепла. Наоборот, при падении силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции того же направления, что внешняя, ток оказывается сильнее, в цепи выделяется больше джоулева тепла, чем должно было бы выделиться при дайной внешней э. д. с. Очевидно, что лишняя работа, затрачиваемая при возрастании тока, могла пойти лишь на создание какого-то вида энергии, которая затем, при убывании силы тока, выделилась обратно в цепи. Так как с усилением тока усиливается и создаваемое им магнитное поле, то, очевидно, что эта возникающая энергия является энергией магнитного поля.

Для подсчета магнитной энергии рассмотрим контур с самоиндукцией L, в котором сила тока возрастает от нуля до некоторого конечного значения I. При возрастании тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции ε_s. Работа против этой э. д. с. и идет на образование энергии магнитного поля. Если в данный момент сила тока в цепи равна I, то мощность, развиваемая э. д. с. самоиндукции, равна Iε_s а следовательно, работа, совершаемая за малый промежуток времени dt, равна:

dA = Iεsdt

(3.139).

Э. д. с. самоиндукции ε_s численно равна dФ/dt, где dФ—поток индукции, пронизывающий рассматриваемый контур. Отсюда элементарная работа dA за время dt численно равна dA = I dФ. При постоянном коэффициенте самоиндукции dФ = Ldl, и выражение для элементарной работы dA можно переписать в виде: dA = ILdI. Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля:

A = ∫dA = ∫ILdI = LI^2/2

(3.140).

Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем пространстве. Таким образом, приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией

W = LI^2/2

(3.141).

Формуле можно придать такой вид, что она представит энергию как функцию величин, характеризующих магнитное поле в окружающем пространстве. Проведем это преобразование для магнитного поля внутри длинного соленоида. Индуктивность соленоида равен:

L = μ0μn^2V

(3.142),

где V — объем соленоида, п — число витков, приходящихся на единицу длины, и μ — магнитная проницаемость среды. Кроме того, сила тока I и индукция В магнитного поля внутри соленоида связаны соотношением: I = B/μ₀μ. Подставляя эти значения L и I в формулу для энергии, найдем:

W= В^2V/2μ0μ

(3.143).

Так как магнитное поле можно считать сосредоточенным только внутри соленоида, т. е. в объеме V, то плотность магнитной энергии:

w = W/V = В^2/2μ0μ = BH/2

(3.144).