4.7.2 Спектр атомов водорода. Постулаты Бора

Сложные частицы, образованные из элементарных частиц (например, молекулы, атомы, ядра атомов), обладают атомистическими свойствами. Эти атомистические свойства обусловлены двумя обстоятельствами. Во-первых, каждый сорт сложных частиц образуется из вполне определённых элементарных частиц (например, атом водорода образуется только из одного протона и одного электрона). Во-вторых, внутренние состояния сложных частиц прерывны: для каждой сложной частицы существует своя последовательность вполне определённых возможных состояний, каждое из которых отделено от другого скачкообразными изменениями. Благодаря этому далеко не всякое воздействие может перевести сложную систему, например, из состояния с одной энергией в состояние с другой энергией. В силу этого атомные системы, подвергаясь какому-либо внешнему воздействию, остаются в широких пределах такими же, какими они были до воздействия, или переходят в новые, вполне определённые состояния. Эти неизменность и неделимость соблюдаются лишь до той поры, пока внешние воздействия не достигнут той степени интенсивности, при которой окажутся возможными переходы сложной частицы в соседние состояния.

Прерывность состояний, свойственная микросистемам, доказывается опытным путем. Во второй половине прошлого столетия были проведены многочисленные и тщательные исследования спектров излучения. Оказалось, что спектр излучения молекул состоит из широких размытых полос без резких границ. Такого рода спектры были названы полосатыми. Спектр излучения атомов имеет совсем другой вид. Он состоит из отдельных, резко обозначенных линий. В связи с этим, спектры атомов были названы линейчатыми. Для каждого элемента имеется свой, вполне определенный линейчатый спектр. Поэтому, по спектру можно определить элемент, которому этот спектр принадлежит.

Линии в спектрах располагаются закономерно. Найти закономерности расположения линий излучения в линейчатых спектрах и объяснить эти закономерности - было важнейшей задачей физического исследования. Первые шаги были сделаны в направлении подбора эмпирических формул, которые бы правильно описывали положение отдельных линий в спектрах, был Бальмер. Он подобрал формулу для видимой части линий излучения в спектре атома водорода. Анализ эмпирического материала по линейчатым спектрам атома водорода показал, что отдельные линии в его спектрах могут быть объединены в группы линий, которые принято называть сериями. Бальмер установил, что длины волн в видимой части спектра водорода можно вычислить следующей простой формулой:

1/λ =ν= R' (1/22 + 1/n^2 ), где n = 3,4,5, и т.д.

(4.80),

где R' — постоянная величина, ν — частота соответствующей линии.

Эта серия линий называется серией Бальмера. В 1906 г. Лаймен открыл такую же закономерность для линий, лежащих в ультрафиолетовой части спектра атома водорода:

ν= R' (1/1^2+ 1/n^2 ), где n = 2,3,4,5 и т.д.

(4.81).

Эта группа линий называется серией Лаймена. В 1908 г. Пашен открыл, что данная закономерность выполняется также для группы линий, расположенных в инфракрасной части спектра атома водорода:

ν= R' (1/3^2+ 1/n^2 ), где n = 4,5 и т.д.

(4.82).

Эту серию линий назвали серией Пашена. В дальнейшем были установлены серия Брэкета:

ν= R' (1/4^2+ 1/n^2 ), где n =5,6,7 и т.д.

(4.83)

и серия Пфундта:

ν= R' (1/5^2 + 1/n^2 ), где n = 6,7,8 и т.д.

(4.84).

Рассмотрение формул дали повод свести выявленные закономерности в одну формулу, называемую обобщенную формулу Бальмера:

ν= R(1/ m^2+ 1/n^2 )

(4.85),

где m = 1,2, 3,4,5, и т.д. определяет серию линий, а n = (m + 1) задает длины волн (частоты) линий, образующих серию.

Анализ данной формулы показывает, что каждая из частот является разностью двух величин, называемых спектральным термом: Т(n) = R/n². Тогда, излученную частоту можно представить в виде разности термов:

ν = Т(n) - Т(m)

(4.86).

Полученные экспериментальные закономерности излучения атомов находятся в серьезном противоречии с предсказаниями классической теории излучения и привели к необходимости коренного изменения классических представлений о природе излучений.

Для объяснения новых экспериментальных фактов Н. Бор сформулировал два постулата.

1) Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях. Энергии стационарных состояний Е₁,_Е2,Е₃, образуют дискретный спектр.

2) При переходе атома из одного стационарного состояния с энергией Еn в другое состояние с энергией Еm (Еn >Еm) происходит излучение кванта света:

hυ = Еn - Еm

(4.87).

Если необходим переход с уровня с меньшей энергией на уровень с большей энергией, то происходит поглощение кванта света (рисунок - 4.69)

Энергии стационарных состояний определяются правилом квантования. Согласно теории Бора, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона L равен целому числу постоянной Планка: ђ h/2π

L = n ђ (n=1, 2, 3, )

(4.88).

Это правило квантования выделяет из всего множества орбит, допускаемых классической механикой, лишь дискретное количество орбит, характеризуемых правилом квантования.

Исходя из этих постулатов и, используя планетарную модель атома, Бор разработал количественную теорию атома водорода. Атом водорода представляет собой систему из одного протона (ядро атома водорода) и одного электрона, который движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r.

Полная энергия электрона E складывается из кинетической Т и потенциальной U энергий, т. е. E =T+U. Если масса электрона m, скорость v, то для E может быть записано выражение: E =mv²/2 – e²/r. Кулоновская сила притяжения, действующая со стороны ядра на электрон, является центростремительной силой, поэтому, можно написать: е²/r² = mv²/r, Откуда

E = e^2/2r - e^2/r = - e^2/2r

(4.89).

Отрицательное значение полной, энергии атома (электрона) означает, что при удалении электрона из атома не происходит выделения энергии (совершения работы), а, наоборот, необходима затрата энергии извне, равная E, если считать, что удаленный электрон будет иметь, нулевую полную энергию.

В атоме существуют лишь определенные устойчивые орбиты, т. е. такие орбиты, находясь на которых электрон не излучает. Поэтому r принимает не любые значения. Найдем радиусы устойчивых орбит.

Электрон устойчиво может вращаться только на таких орбитах, где выполняется условие L = n ђ, где n=1, 2, 3, .- номера орбит. Момент количества движения электрона, вращающегося на п-й орбите равен mvrn:

mvrn = nh/2π.

Отсюда следует, что

m²v²r²n = п² h²/4π², т. е. mv² = е²/r_n

Поэтому

r_n = п² h²/4π² me²

Таково будет значение радиусов устойчивых орбит. Из полученных выражений можно получить значение дискретных энергий электрона En, которыми он может обладать:

En = - 2π^2me^4/п^2h^2

(4.90),

где n=1, 2, 3, . Эта формула дает уровни энергии стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме (рисунок - 4.70). При п → ∞ уровни энергии сгущаются к своему предельному значению E_∞ = 0. Состояние атома с наименьшей энергией (п = 1) называется основным состоянием. Переход электрона с одной стационарной орбиты на другую сопровождается излучением или поглощением кванта света (рисунок - 4.69).

Рисунок - 4.69	Рисунок - 4.70

При переходе атома водорода (Z = l) из состояния п в состояние m излучается фотон (рисунок – 4.69)

hν = E_n – E_m = - m_e e⁴/2h²(1/n² – 1/m²)

Частота испущенного света равна

ν = m_e e⁴/2h³(1/n2 – 1/m²) = R(1/n² – 1/m²)

Мы пришли к обобщенной формуле Бальмера, откуда можно вычислить постоянную Ридберга: R = m_e e^4/2h³. При подстановке в это выражение числовых значений те, е и h получается величина, хорошо согласующаяся с экспериментальным данными постоянной Ридберга.

Выводы, основанные на постулатах Бора, хорошо согласуются с экспериментом. Так, например, существование в атомах стационарных состояний было экспериментально подтверждено в 1913 г. опытами Франка и Герца. Схема установки, с помощью которой немецкие физики Д.Франк и Г.Герц доказали дискретность значений энергий атомов, изображена на рисунке - 4.72. Основной

Рисунок - 4.71

частью установки является трубка, заполненная исследуемым газом при небольшом давлении (так что пробег электрона оказывается порядка размеров трубки). Внутри трубки находился подогреваемый катод К, являющийся эмиттером электронов, сетка С и анод А. На сетку подается ускоряющий потенциал V_c, величина которого может плавно изменяться. Между анодом и сеткой приложен небольшой задерживающий потенциал (V_ca ≈0,2 - 0,5 в). Электроны, ускоренные в зазоре между катодом и сеткой, попадают затем в свободное от поля пространство, ограниченное сеткой С. В этом пространстве в основном и происходят их столкновения с атомами. Те электроны, которые потеряли почти всю свою энергию в результате столкновений с атомами, не могут преодолеть задерживающего поля V_ca, остальные электроны попадают на анод А и создают в цепи анода ток i_a, регистрируемый гальванометром G.

При повышении потенциала сетки Vc число электронов, отсасываемых от катода, увеличивается, и ток в анодной цепи растет. Это возрастание, однако, при некотором потенциале прекращается, и наступает резкий спад (рисунок - 4.73). На рисунке – 4.73 изображена зависимость тока ia от ускоряющего потенциала V_c для случая, когда трубка заполнена парами ртути (опыты Франка и Герца). Начальный (возрастающий) участок кривой имеет вид, типичный для вольтамперных характеристик термоэлектронных приборов. Но при V_c = 4,9 в ток резко падает, а затем опять начинает возрастать. Менее резкие скачки наблюдаются и при некоторых других значениях V_c, больших 4,9 в.

Выясним причины, определяющие вид кривой на рисунке - 4.73. Атомы ртути, так же как и водородоподобные атомы, и все атомы вообще, обладают дискретными энергетическими уровнями, поэтому электроны с небольшой энергией их возбуждать не могут. Возбуждение атома, т. е. переход с нижнего на один из верхних уровней, происходит в том случае, когда атому передается энергия, равная, как минимум, разности энергий этих уровней. Эта энергия, деленная на заряд электрона, называется потенциалом возбуждения. При достижении этой энергии электроны испытывают неупругие столкновения с атомами и передают им почти всю свою энергию.

Рисунок - 4.72	Рисунок - 4.73

На установках, аналогичных описанной схеме, можно производить измерения первых и более высоких потенциалов возбуждения для различных атомов, а также измерение ионизационных потенциалов. Ионизационным потенциалом называется энергия ионизации (энергия, необходимая для отрыва электронов от атома), деленная на заряд электрона. При такой постановке опыта гальванометр G зарегистрирует появление тока в анодной цепи только при значениях V_c, превышающих ионизационный потенциал.

Теория Бора — важный этап в понимании внутриатомных явлений. Она с полной отчетливостью показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и главенствующее значение квантовых законов в микромире. Самой слабой стороной теории Бора, обусловившей последующие неудачи, была ее внутренняя логическая противоречивость: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. После открытия волновых свойств вещества стало совершенно ясно, что теория Бора, опирающаяся на классическую механику, могла быть только переходным этапом на пути к созданию последовательной теории атомных явлений.

Теория Бора подготовила почву для уяснения того важнейшего факта, что для понимания явлений микромира классических понятий и классических законов недостаточно. В области микромира нужны принципиально новые понятия и законы. Здесь главная роль должна принадлежать понятию «кванту», введенному в науку М.Планком.