використовуються при цьому, дорівнює одиниці, а ваговий коефіцієнт кожної вихідної точки є часткою цієї загальної одиночної ваги. Якщо вихідна точка збігається з вузлом гріда, то ваговий коефіцієнт цієї вихідної точки приймається рівним одиниці, а для всіх інших точок – нулю. У цьому випадку значення у вузлі гріда повністю співпадає зі значенням поверхні у вихідній точці, тобто метод працює як точний інтерполятор.

Приклад побудови моделі рельєфу за методом ЗЗВ представлений на рис. 9.7.

Рис. 9.7. Приклад поверхні, одержаної шляхом інтерполяції значень точок за методом інтерполяції ЗЗВ (IDW)

9.5. Створення поверхонь методом природної околиці

Метод природної околиці (рис. 9.8), як і метод обернено-вагових відстаней, ґрунтується на ваговому усередненні значень.

	Рис. 9.8. Приклад поверхні,	Рис. 9.9.	Приклад поверхні,
	одержаної шляхом інтерполяції
		одержаної шляхом інтерполяції за

	значень точок за методом	методом сплайнів
	інтерполяції методом природної
	околиці

190

Однак замість обчислення значення по всіх точках з вагою оберненої відстані до них при інтерполяції цим методом будується триангуляція Делоне по вхідних точках, тобто вибираються найближчі вузли, які формують опуклу оболонку навколо інтерпольованої точки, а потім їх значенням присвоюється вага, що пропорційна площі ділянок.

Цей метод найбільш придатний, коли точки вимірювань розподілені нерівномірно. Метод природної околиці є методом інтерполяції загального призначення. Його перевага в тому, що не потрібно задавати такі параметри, як радіус, кількість точок або вагу.

9.6. Створення поверхонь за допомогою сплайнів

Методи сплайн-апроксимації (рис. 9.9) набули значного поширення в усьому світі і є методом інтерполяції загального призначення. Термін "сплайн" походить від англійської назви тонкої дерев’яної рейки, яка застосовується для зображення кривих складної конфігурації. За допомогою кріплень і навантажень можна домогтися, щоб рейка проходила через задані точки. Вигнута таким чином рейка дає плавну криву, яка зазвичай задовольняє вимоги до цієї частини креслення. Також сплайн часто порівнюють з процесом натягування гуми через визначені точки при мінімізації сумарної кривизни поверхні.

Метод сплайну створює поверхню мінімальної кривизни через вхідні точки, яка будується підбором математичної функції поверхні до заданої кількості найближчих точок за умови проходження її через всі точки вимірів.

Використовують два методи сплайну: регуляризований сплайн і сплайн з натягом. В обох методах використовується один і той же параметр – кількість точок. Цей параметр контролює середню кількість точок у кожній ділянці, що використовується при обчисленні поверхні. Ділянки являють собою однакові прямокутники, їх кількість визначається поділом загальної кількості вхідних точок на задану кількість точок. Коли дані розміщені нерівномірно, фактична кількість точок може відрізнятися від встановленої кількості точок.

Регуляризований сплайн. Метод регуляризації створює гладку поверхню, що поступово змінюється, значення в якій можуть виходити за межі діапазону даних вимірів. Регуляризований сплайн дозволяє контролювати згладженість поверхні. Коефіцієнт ваги методу регуляризованого сплайну визначає вагу третіх похідних поверхні у виразі мінімізації кривизни. Значення ваги в регуляризованому сплайні дозволяє змінити гладкість поверхні. Вага задає коефіцієнт для третьої похідної і використовується для мінімізації кривизни поверхні.

Сплайн з натягом. Метод натягу змінює жорсткість поверхні залежно від характеру модельованого явища. Він створює менш гладку поверхню, значення в якій ближчі до діапазону даних вимірів.

191

Коефіцієнт ваги методу сплайна з натягом регулює еластичність поверхні. Вага нуль – це базова сплайн-інтерполяція. Більш високі значення означають збільшення еластичності.

Найбільш типові значення ваги: нуль, один, п’ять, десять.

У методі сплайну при проходженні через тестову точку підбирається математична функція для певного числа найближчих вхідних точок. Цей метод краще застосовувати для поверхонь, що плавно змінюються (поверхня гладкого рельєфу, води в річці або концентрації забруднюючих речовин). Він менш ефективний при значних змінах параметрів на короткому інтервалі.

Для двовимірного випадку (на площині) функція сплайна, еквівалентна гнучкій лінійці, є кубічним поліномом (поліномом третього степеня), який є безперервною функцією і має безперервні першу і другу похідні.

Для тривимірного випадку, коли замість лінії має бути інтерпольована поверхня, використовуються бікубічні сплайни – полігони третього степеня двох координат простору. У цьому випадку математичний сплайн використовує поділ кривої на ділянки, де точки прикладання сил поділяють область визначення кривої на відрізки. На кожному такому відрізку сплайн являє собою параболу третього степеня. Усі параболи разом (їх кількість збігається з кількістю відрізків) утворюють гладку безперервну криву. Зазвичай базисний сплайн (В-сплайн) будують стандартним чином на регулярній мережі. В-сплайни забезпечують безперервність поля з точністю до другої похідної включно. В особливих випадках переходять до базису і сплайнів п’ятого степеня, але це може призвести до появи зайвих "хвиль" на модельованій поверхні.

Сітка сплайнів відрізняється від звичайної сітки тим, що її поверхня є ідеально гладкою, що більш природно для більшості моделей. Сітки з розламами включають додаткові сегменти для моделювання рівного розриву. На звичайній сітковій моделі розрив утворюється східчастим виглядом

(рис. 9.10).

Рис. 9.10. Використання сплайн-функцій

192

Метод сплайн-апроксимації у більшості випадків дає непогані результати, навіть коли щільність опорних точок зовсім невелика. У випадку великого розкиду значень параметра метод потребує початкового згладжування. Недоліком також є те, що в деяких випадках з’являються осциляції (різкі піки та западини).

Сплайн-інтерполяція належить до точних методів інтерполяції, у яких інтерпольована лінія (двовимірний випадок) або поверхня (тривимірний випадок) у точках вимірювань збігається із виміряними значеннями.

Таким чином, завдання інтерполяції з використанням бікубічних сплайнів полягає в побудові на кожному фрагменті даної території кубічного полінома, значення якого в точках вимірювань збігаються із виміряними значеннями змінної. Додатковою умовою є вимога узгодження перших і других похідних у граничних точках фрагментів і дві граничні умови (нульова або певна кривизна чи нахил). Умови утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язок якої з використанням тих точкових значень змінної, що є на кожному фрагменті досліджуваної території, дозволяє знайти відповідні значення коефіцієнтів полінома.

До переваг сплайн-інтерполяції слід віднести високу швидкість обробки обчислювального алгоритму, оскільки сплайн – це кусково-поліноміальна функція і при інтерполяції одночасно обробляються дані за невеликою кількістю точок вимірювань, що належать до фрагмента, який розглядається на даний момент. Інтерпольована поверхня описує просторову мінливість різного масштабу і в той самий час є гладкою. Остання обставина робить можливим прямий аналіз геометрії і топології поверхні з використанням аналітичних процедур.

Гладкість інтерпольованої поверхні, яка є особливістю, внутрішньо властивою сплайн-інтерполяції, водночас обумовлює неможливість коректного відображення за допомогою сплайнів різких змін у поверхні-оригіналі, що є одним із недоліків методу. До недоліків також слід віднести високу залежність точності моделювання поверхні від розташування точок вимірювань (або спостережень); особливо критичне значення має наявність точок на структурних лініях поверхні-оригіналу – вододілах і тальвегах, якщо йдеться про топографічну поверхню. Результат інтерполяції залежить також і від характеру виділення фрагментів. Крім цього, так само, як і для інших детермінованих методів, немає методики прямих оцінок похибок, пов’язаних із сплайн-інтерполяцією.

Урахування цих особливостей дає можливість успішно застосувати сплайни при моделюванні таких відносно спокійних явищ, як поверхня ґрунтових вод, коли кількість похідних точок на ділянці часто вимірюється одиницями, поверхня розподілу температури, вологості, природного радіаційного фону тощо. Прикладом таких поверхонь є водна поверхня річки рівнинного типу, якій властиві плавні та відносно невеликі зміни ухилу, а також повна відсутність аномальних явищ.

193

Недоліком також є те, що в деяких випадках з’являються осциляції (невиправдані аномалії у місцях, де дані відсутні).

Spatial Analyst Arc View GIS дає можливість регулювати параметри Spline-функції, задаючи тип емпіричної кривої. Існують такі види цього аналізу:

1.Regularized – являє собою згладжуючий фільтр, який надає результуючій поверхні плинності, але допускає помітні відхилення від похідних значень.

2.Tension – результат дії цього засобу апроксимації нагадує гумову стрічку, яку в місцях перетину похідних точок дещо до них притиснули. Таким чином, досягається краща відповідність похідним даним за рахунок часткової втрати плинності.

3.Параметр Weight контролює ступінь "натягу" результуючої поверхні залежно від її типу. Так, для типу Regularized зростання вагового коефіцієнта призводить до більшого згладжування емпіричної кривої, а для типу Tension – до більшої відповідності похідним даним.

Також є можливість регулювати кількість найближчих похідних точок, що будуть залучені для обчислення кожного пікселя результуючої статистичної поверхні. Проте за невеликої кількості даних перевищення цього параметра не впливає на процес моделювання.

Інтерполяція та апроксимація на основі ієрархічних В-сплайнів

У даному методі поверхня представляється як сума кусково-поліно- міальних функцій, визначених на основі двовимірних базисних сплайнів (тензорний добуток одномірних В-сплайнів) з коефіцієнтами, заданими на регулярній прямокутній сітці, причому на кожному наступному рівні ієрархії сітка згущається.

Для кожного конкретного рівня ієрархії модельна функція представляється у вигляді:

3 3

f (x, y) Bk (s)Bl (t)c(i k)( j l) ,

k 0 i 0

де i [x/h] 1; j [y/h] 1; s x/h [x/h]; t y/h [y/h];

операція [...] означає взяття цілої частини числа; h – крок сітки, на якій задані коефіцієнти сплайна

cij ; i 1,0, ,m 1; j 1,0, ,n 1; Bk , Bl – кубічні В-сплайни, які визначаються на відрізку 0 t 1 як:

B0(t) (1 t)3 /6,

B1(t) (3t3 6t2 4)/6,

B2(t) ( 3t3 3t2 3t 1)/6,

B3(t) t3 /6.

194