Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

229

	f b f a	f c ,
	b a

Из геометрического смысла производной (см.

где a c b.

п.2.7.2) f c – угловой коэф-

фициент		касательной к кривой в точке		с абсциссой x0 c , отношение
	f b f a		– угловой коэффициент хорды AB (см. рис. 2.12.4).
	b a
			y	y=f(x)
			B

M

f(b)–f(a) b–a

A

0

a

с

b

x

рис. 2.12.4

Таким образом, с геометрической точки зрения, теорема Лагранжа означает, что на графике функции y f x найдется точка M c; f c (см. рис.

2.12.4), в которой касательная к графику функции параллельна хорде AB , стягивающей концы графика функции на отрезке a;b .

Замечание. С геометрической точки зрения теорема Коши (см. п.2.12.2) выражает тот же факт, что и теорема Лагранжа.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

230

ЛЕКЦИЯ 2.13. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ, РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

2.13.1. Правило Лопиталя
Теорема 1. Пусть функции				f x и x непрерывны и дифференци-
руемы	в окрестности точки	x0		и	обращаются в ноль в этой точке:
f x0	x0 0 , при этом	x	0		в окрестности точки x0 . Если отноше-

ние производных этих функций имеет предел при x x0 равный l , то отношение самих функций также имеет предел при x x0 , равный пределу отношения их производных, т.е.

lim

f x

lim

f x

l .

(2.13.1)

x x0

x

x x0

x

Доказательство:

f x

и x теорему Коши (см. п.2.12.2) для от-

Применим к функциям

резка x0; x , лежащего в окрестности точки x0 .

Тогда

f x f x0

f c

,

где

x

c x . Учитывая условие теоремы

x x0

c

0

f x

x

0 ,

получаем

f x

f c

.

При x x , величина

c

также

x

0

0

c

0

стремится к x0 ; в последнем равенстве перейдем к пределу:

lim

f x

lim

f c

.

x x0

x

c x0

c

Так как lim

f x

l , то

lim

f c

l , поэтому

x

c

x x0

c x0

lim

f x

lim

f x

l .

x

x x0

x x0

x

Что и требовалось доказать.

x ,

Докажем, что формула (2.13.1)

остается справедливой и при

считая, что функции

f x и x

определены и имеют конечные производ-

ные для достаточно больших значений

x

.

Полагая x

1

1

придем к случаю, доказанному в теореме, так

z

z

x

,

как, если x , то z 0 .

231

1

1

1

1

f

f

f

f x

z 2

1

lim

lim

z

lim

z

lim

z

, заменяя

на x ,

1

1

1

1

z

x x

z 0

z 0

z 0

z 2

z

z

z

получим lim

f x

lim

f x

. Что и требовалось доказать.

x

x

x

x

f x и x

Формула (2.13.1) остается справедливой, если обе функции

стремятся к бесконечности.

Таким образом, теорема сводит предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций к пределу отношения производных этих функций, если последний существует.

Отыскание предела отношения двух функций, с использованием выше приведенной теоремы называется правилом Лопиталя.

Примеры.

1. lim sin5x lim 5 cos5x 5 . x sin 4x x 4 cos4x 4

1

	2. lim	ln x	lim	x	lim		1	0 .
		x2
	x		x 2x		x 2x2				f x
	Иногда, после перехода от						lim
									x
							x x0

к lim f x по правилу Лопиталя

x x0 x

сохраняется неопределенность отношения производных. Тогда правило Лопиталя применяют повторно, а в некоторых случаях и не один раз.

Пример.

lim	x-x cos x		lim	x-x cos x		lim	1- cos x x sin x
	x-sin x			x-sin x			1- cos x
x 0			x 0			x 0
lim		1- cos x x sin x			lim sin x sin x x cos x
x 0		1-cos x			x 0		sin x
lim		sin x sin x x cos x lim 2 cos x cos x-x sin x								3.
x 0			sin x			x 0	cos x

2.13.2. Раскрытие неопределенностей

С помощью правила Лопиталя очень часто удается раскрыть неопреде-

ленности вида: 0 ; - ; 1 ; 0 ; 00 .

232

1. Неопределенность	0 .	f x 0, x .
Речь идет о вычислении lim	f x x , где
x x0
Чтобы раскрыть неопределенность этого вида, необходимо произведе-

ние, стоящее под знаком предела, заменить частным, сведя таким образом,

0 к неопределенности		0		или			, а затем применить правило Лопита-
		0

ля, т.е.

f

x

lim

f x x lim

.

x x0

x x0

1

x

или

x

lim

f x

x lim

.

x x0

x x0

1

f

x

Пример.

sin

x 1

sin

x 1

cos

x 1

x

lim sin x 1 tg

lim

lim

lim

2

1

x

1

x 1

x 1

x 1

x 1

ctg 2

2

tg

x

sin

2 x

2

2

2

x

2

2

lim

sin

2

cos x

1

1

.

2

x 1

2. Неопределенность .

Речь идет о вычислении

lim

f x x

, где f x ,

x .

x x

0

Чтобы раскрыть неопределенность этого вида необходимо разность,

стоящую под знаком предела, представить в виде произведения, вынося одну

	из функций за скобку: lim f x x						x
				lim	f x 1			.
		x x0		x x0			f x
	Затем,	используя	правило	Лопиталя			найти

lim x

x x0 f x

	неопределенность			и сравнить этот предел с единицей. Тогда

233

0,

lim f x x

x x0

,

Пример.

если

если

lim x 1,

x x0 f x

lim x 1.

x x0 f x

3x

,

lim x e3x lim x 1 e

x

x

x

lim e3x

lim

3e3x

1 lim (x e3x ) .

x x

x

1

x

;

0

0

;

0

.

3. Неопределенности

1

Речь идет о вычислении

1

если f x 1, x ,

,

lim f x

x

00 ,

если f x 0, x 0,

x x

0

0

,

если f x , x 0.

Пределы во всех трех случаях находят с помощью предварительного логарифмирования.

1

Пример. Найти lim cos x x2 .

x 0

Решение: В данном случае имеем неопределенность вида 1 .

1

Пусть a lim cos x x2 , тогда прологарифмируем обе части равенства:

x 0

1

ln a ln lim

cos x

x2

,

x 0

1

1

ln cos x

x2

x2

1

ln lim

cos x

lim

ln cos x

lim

ln cos x

lim

2

x

2

x 0

x 0

x 0

x

x 0

lim tgx

1 lim

1

1

1 .

cos2 x

1

x 0

2x

2 x 0

1

2

1

2

1

1

1

Таким образом,

ln a 1

a e 2 , т.е. lim cos x x2

e 2

.

2

x 0

e

234

	1
Ответ: lim	cos x	x2		1	.
x 0				e

2.13.3. Формула Тейлора

В определении функции y f x не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения y по значениям x . В тех случаях, когда

	функция является формулой вида y	x3	5x 7 , значения функции легко
		5

найти с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций y sin x , y ln 1 x при любых (допустимых) значени-

ях аргумента?

Для того чтобы вычислить значения данной функции y f x , её заменяют многочленом Pn x степени n , значения которого всегда и легко вы-

числяемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Если известно значение функции z f M в точке M0 , то её значение

в прилегающих точках можно найти приближенно, заменяя приращение функции её полным дифференциалом:

f M f M	0	d f M		0	.	(2.13.2)
При этом предполагается, что функция			f M	имеет дифференциал в

точке M0 и её окрестности.

По формуле (2.13.2) невозможно оценить ошибку, которая получается

при замене z	на d f M	0		, кроме того, неизвестно, как эта ошибка зависит

от длины интервала M0M .

Если функция z f M имеет дифференциалы всех порядков в точке M0 и её окрестности и известно значение f M0 , то значение функции в

прилегающей точке M можно вычислить с любой заданной точностью, добавив соответствующее число дифференциалов высших порядков:

d

f M

0

d2 f M

0

dn f M

0

f M

f M0

...

. (2.13.3)

1!

2!

n!

При этом формулу

d f M

0

d2

f M

0

dn f M

0

f M f M

0

...

R

M , (2.13.4)

1!

2!

n!

n

235

где Rn M – остаточный член или величина ошибки, называют формулой

Тейлора.

Формула (2.13.4) справедлива для функций любого числа переменных. Рассмотрим функцию y f x . Формула Тейлора позволяет, при оп-

ределенных условиях, приближенно представить функцию f x в виде мно-

гочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 2. Если функция f x определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в ней производные до n 1 –го порядка включительно, то для любого x из этой окрестности найдется точка c x0; x такая, что справедлива формула

f x f x

f x0

x x

f x0

x x

2 ...

f n x0

x x

n

f n 1 c

x

x n 1,

0

1!

0

2!

0

n!

0

n 1 !

0

c x0

x x0 ,

0 1 .

(2.13.5)

Доказательство:

f x0

f x ,

Пусть

значение

функции

известно,

нужно

найти

гдеx x0 x . Заменим функцию в окрестности точки M0 x0

многочленом

n -ой степени относительно длины интервала x x0 :

f x c

c

x x c

x x 2

... c

x x

n

;

0

1

0

2

0

n

0

f x Pn x , у которого коэффициенты c0,c1,c2 ,...,cn пока неизвестны.

Подберем c0,c1,c2 ,...,cn так,

чтобы в начальной точке интервала x x0

значения многочлена Pn x и функции

f

x , а также значения всех их про-

изводных до n -го порядка совпадали:

n

n

f x P

x , f

x

x P

, f

x

P

x . (2.13.6)

x P

x , …, f

0

n

0

0

n

0

0

n

0

0

n

0

Вычислим производные многочлена Pn x

до n -го порядка при x x0 :

Pn x c0 c1 x x0 c2 x x0 2 c3 x x0 ... cn x x0 n

x x0 c0,

Pn x 0 c0 c1 x x0 2c2 x x0 2 3c3 x x0 ... ncn x x0 n-1

x x0 c1 1! c1,

Pn x 0 0 2c2 3 2c3 x x0 ... n n 1 cn x x0 n-2

x x0 2c2 2! c2,

x0

n-3

x x0 1 2 3 c3

3! c3,

Pn x 0 0 0 3 2 1c3 ... n n 1 n 2 cn x

........................................................

Pn n x 0 0 0 0 ... n n 1 n 2 ... 2 1 cn

x x

1 2 3 ... ncn n! cn.

0

(2.13.7)

236

Подставляя их в равенства (2.13.6), найдем неизвестные коэффициен-

ты:

f x0 c0 c0 f x0 ,
f x0	1! c1 c1			f x0			,
			1!
f x0	2! c2 c2			f x0			,
			2!
…………………………………,
f n x	n! c c			f n x
					0					.
0	n	n		n!
						Pn x совпадает с					f x
При найденных коэффициентах многочлен

только при x x0 , в других точках их равенство приближенно.

f x f x

f x0

x x

f x0

x

x

2

...

f n x0

x x n .

(2.13.8)

0

1!

0

2!

0

n!

0

Оценим ошибку, которая получается при замене функции многочленом

Pn x в точках,

отличных от

x x0 . Точное значение функции в произволь-

ной точке M x будет

f x Pn x Rn x ,

где Rn x

– остаточный член

или абсолютная ошибка.

Возьмем остаточный член в форме

n 1

Rn x

A x x

0

,

(2.13.9)

n 1 !

при этомA – неизвестная постоянная. Найдем её из условия

Rn x f x Pn x .

(2.13.10)

Подставим в выражение (2.13.10) остаточный член в форме (2.13.9), получим:

A x x

n 1

0

f x Pn x или

n 1 !

A x x0

n 1

f x0

f x0

f

n

x0

f x f x

x x

x x 2 ...

x x n . (2.13.11)

0

1!

0

2!

0

n!

0

n 1 !

Продифференцируем n раз обе части равенства (2.13.11) по x :

1. n 1 A x x0 n

1 2 ... n n 1

		f x0
	f x
		1!

	2 f x0		nf	n	x0
		...						x x	n 1 ,
	1 2		1 2 3 ... n
								0

237

	nA x x	n-1			n 1 f n x					n-2
2.	0		f x f x0	...		0		x	x0	,
	1 2 ... n				1 2 3 ...	n 1
………………………………………………………..,
n. A x x		f n x f n x .
	0			0

К правой части последнего равенства, полученного в результате n – кратного дифференцирования, применим теорему Лагранжа (см. п.2.12.3):

A x x f n 1 c x x		.
0	0
Откуда следует, что A f n 1 c , где x c x и
	0
Rn x	f n 1 c x x		n 1
	0				.	(2.13.12)
	n 1 !
Из (2.13.12) следует, что величина ошибки, которая получается при за-
мене функции многочленом Pn x	зависит от величины интервала M0M :
x x x0 и от числа членов в Pn x . Чем больше x ,						тем меньше ошибка.
Если задан интервал x x0 и точность, с которой нужно найти значение
функции в точке M x ( например,	Rn x 0,01), то из выражения (2.13.2)

можно найти n число членов в многочлене Pn x , необходимое для получе-
ния заданной точности.
Итак, точное значение функции y f x в точке M x будет:
f x f x	f x0	x x	... f n x0	x x	n f n 1 c	x x n 1.
0	1!	0	n!	0	n 1 !	0

Что и требовалось доказать.

Формула (2.13.5) называется формулой Тейлора для функции f x , в

которой последнее слагаемое согласно (2.13.12) равно Rn x и называется

остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.

Формула (2.13.8) называется многочленом Тейлора и обозначается Pn x . При x0 0 , получаем частный случай формулы Тейлора – формулу

Маклорена:

f x f 0

f 0

x

f 0

x2

...

f n 0

xn

f n 1 c

xn 1,

(2.13.13)

1!

2!

n!

n 1 !

где 0 c x c x,

0 1 .

При

n 0

формула

Тейлора

(2.13.5)

имеет

вид

f x f x0 f c

x x0 или

f x f x0 f c , т.е. совпадает с фор-

мулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для

238

приближенных вычислений f x f x0 f x0 x-x0 (см. ся частным случаем более точной формулы

	f x	f x0	f x0	x x0 ...	f n x0	x
			1!		n!

п.2.10.4) являет-

x0 n .