Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

119

Далее отметим, что если ось параболы параллельна оси Ox, то ее урав-

нение можно записать в виде

(x–x0)2 = 2a(y–y0).

При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 ветви параболы направлены вниз.

Пример. Составить уравнение параболы, проходящей через точку M(2; 5), если ее ось параллельна оси Ox, а ее вершина находится в точке C(4; 3) и сделать чертеж.

Решение. Поскольку ось параболы параллельны оси Ox, то ее уравнение должно иметь вид (y–y0)2 = 2p(x–x0). Подставляя сюда координаты вершины, получим (y–3)2 = 2p(x–4). Далее учтем, что парабола проходит через точку М. Для этого подставим в полученное уравнение параболы координаты точки М:

(5–3)2 = 2p(2–4) 4 = –4 p p = – 1.

Таким образом, уравнение параболы имеет вид (y–3)2 = –2(x–4) (рис.1.10.6).

y

M (2;5)

3

O'

0		4	x

Рис. 1.10.6

120

ЛЕКЦИЯ 1.11. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1.11.1. Общее задание поверхностей второго порядка. Таблица основных поверхностей второго порядка (их канонический вид). Метод сечений

Говорят, что поверхность S в декартовой системе координат описыва-

ется уравнением
F(x,y,z) = 0	(1.11.1),

если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

С точки зрения этого определения сама поверхность S представляет со-

бой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.11.1).

Замечание. Не всякое уравнение с тремя неизвестными определяет геометрический образ, отвечающий нашему обычному представлению о поверхности. Чтобы уравнение вида (1.11.1) определяло геометрический образ, отвечающий нашим представлениям о поверхности, следует подчинить функцию F(x,y,z) например, требованию однозначной разрешимости данного функционального уравнения относительно одной из переменных. Эти ограничения выясняются в курсе математического анализа

Классификация поверхностей в пространстве находится в полной аналогии с классификацией линий на плоскости.

Определение 1. Поверхность второго порядка – это множество точек трехмерного пространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяет уравнению (описывается в общем случае многочленом второго порядка):

Ax2+By2+Cz2+Dxy+Еxz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0, (1.11.2)

в котором A2+B2+C2+D2+Е2+F2 0.

Уравнение (1.11.2) называют общим уравнением поверхности второ-

го порядка.

Уравнение (1.11.2) с помощью формул преобразования координат (аналогично подходу, описанному для кривых второго порядка) можно привести к одному из перечисленных ниже уравнений, называемых каноническими. Уравнение (1.11.2) может и не определять, действительно геометрического образа, но для сохранения общности говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка (мнимый эллипсоид, мнимый эллиптический цилиндр, пара мнимых плоскостей). Пользуясь этой условной терминологией, можно сказать, что всякая поверхность второго порядка является одной из приведенных в таблице поверхностей (табл. 1.11.1).

121

Таблица 1.11.1

Поверхность

Уравнение

Чертеж

п/п

второго порядка

2

3

4

z

Эллиптический

x2

y2

1

0

b

1.

цилиндр

a

2

b

2

y

a

x

z

Гиперболический

x2

y2

1

0

2..

цилиндр

b

y

a

2

b

2

a

x

z

3.

Параболический

y2 2 px

цилиндр

0

y

x

z

x2

y2

z2

c

4.

Эллипсоид

1

0

b

a

2

b

2

c

2

a

y

x

z

Однополостный

x

2

y2

z

2

1

0

b

5.

гиперболоид

a2

b2

c2

a

y

x

122

z

Двуполостный

x

2

y2

z2

0

c

y

6.

гиперболоид

1

-c

a

2

b

2

c

2

x

z

Эллиптический

x2

y2

2z

7.

параболоид

y

a

2

b

2

0

x

z

Гиперболический

x2

y2

2z

8.

параболоид

0

a

2

b

2

y

x

z

		Эллиптический	x	2		y2			z	2		y
											0	0
	9.	Конус
			a	2		b	2		c	2
												x

Чтобы судить о форме поверхностей по виду их уравнений, пользуются методом сечений. Метод сечений заключается в том, что при пересечении

123

плоскости и поверхности 2-го порядка получается кривая 2-го порядка. Очевидно, что в качестве секущих плоскостей лучше выбирать плоскости, которые параллельны координатным плоскостям. Это означает, что одна из переменных становится константой.

В результате, уравнение поверхности превращается в уравнение кривой. Плоская кривая, получаемая в сечении, представляется системой уравнений, одно из которых z = h или y = h или x = h, а другое уравнение поверхности. Если в последнее уравнение вместо одной из переменных подставим константу, то получим уравнение, не содержащее эту переменную. Это уравнение позволит построить сечение данной поверхности. Зная ряд сечений можно получить представление о самой поверхности.

Дадим определения и исследуем формы различных поверхностей второго порядка.

1.11.2. Эллипсоид

Определение 2. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое

уравнение которой имеет вид
	x2		y2		z2	1,	(1.11.3)
	a2		b2		c2

где а, b, с – положительные числа, в некоторой декартовой системе координат (геометрическое представление эллипсоида смотри в табл. 1.11.1). Исследуем форму эллипсоида. Так как уравнение (1.11.3) содержит только четные степени x, y, z , то координатные плоскости служат плоскостями

симметрии эллипсоида, а начало координат является его центром симметрии. Дальнейшее исследование формы эллипсоида проведем методом сечений. Рассмотрим линию пересечения эллипсоида с плоскостью z = h, параллельной плоскости xOy. Проекция этой линии на плоскость xOy будет иметь

вид

		x2		y	2	1	h2	.
	Если положить	a2		b2			c2
	a% a		h2			%		h2
		1 c2 , b b 1 c2 ,

то уравнение (1.11.3) примет вид

x2 y2 1, %2 %2

a b

т.е. линия пересечения эллипсоида с плоскостью z = h представляет собой эл-

липс с полуосями a% и b%. При h = c эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке. При |h| > c эллипсоид и плоскость не имеют общих точек. Ана-

124

логично находим, что при пересечении эллипсоида с плоскостями, параллельными другим координатным плоскостям, получаются также эллипсы. Заметим, что линии пересечения эллипсоида с любой плоскостью представляют собой эллипсы.

Определение 3. Если a, b, c – попарно не равны друг другу, то эллипсоид называют трехосным.

Определение 4. Если все полуоси эллипсоида равны, т.е. a=b=c, то эллипсоид называется сферой.

Обычно уравнение сферы со смещенным центром записывают в виде

(x–x0)2 + (y–y0)2 + (z–z0)2 = R2,

где R – радиус сферы, О0 (x0,y0,z0) – ее центр, а уравнение сферы с центром в

начале координат следующее:

x2 + y2 + z2 = R2.

1.11.3. Гиперболоиды

Определение 5. Однополостным гиперболоидом называется поверх-

ность, каноническое уравнение которой имеет вид

	x2		y2		z2	1	(1.11.4)
	a2		b2		c2

в некоторой специально выбранной декартовой системе координат (геометрическое представление однополостного гиперболоида смотри в табл.1.11.1).

Исследуем форму гиперболоида (1.11.4) по его сечениям плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Как и в случае эллипсоида, координатные плоскости служат плоскостями симметрии, а начало координат является его центром симметрии.

Рассмотрим линию пересечения однополосного гиперболоида с плоскостью z = h. Проекция этой линии на плоскость xOy будет иметь вид эллипса:

	x2		y2	1	h2	.
	a2		b2		c2

С увеличением |h| полуоси этого эллипса

a% a	h2	%	h2
	1 c2 , b b		1 c2 ,

неограниченно возрастают. При h=0 эти полуоси минимальные значения, а соответствующий эллипс называется горловым.

Таким образом, однополостный гиперболоид подобен "трубе", неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях

125

вдоль оси Oz. Если бы знак минус стоял перед переменной x или y, то ось "трубы" была бы направлена вдоль оси Ox или Oy, соответственно.

Линией пересечения однополостного гиперболоида и плоскости, параллельной оси Oz, будет гипербола. Например, при сечении гиперболоида плоскостью xOy, т.е. y = 0, получим уравнение гиперболы

x2 z2 1. a2 c2

Однополосный гиперболоид (1.11.4), у которого параметры a = b, является гиперболоидом вращения. Однополосный гиперболоид вращения получается в результате вращения гиперболы вокруг той ее оси, которая не пересекает ее; в данном случае вокруг оси Oz.

Замечание. Однополостный гиперболоид покрыт двумя семействами прямых линий (прямолинейных образующих), целиком лежащих в нем.

Определение 6. Двуполостным гиперболоидом называется поверх-

ность, каноническое уравнение которой имеет вид

	x2		y2		z2	1,	(1.11.5)
	a2		b2		c2

в некоторой специально выбранной декартовой системе координат (геометрическое представление двуполостного гиперболоида смотри в табл. 1.11).

Как и в случае эллипсоида, координатные плоскости служат плоскостями симметрии, а начало координат является его центром симметрии.

Линии пересечения этого гиперболоида с плоскостями z = h представляют собой эллипсы

		x2		y2		1	,
	2			%
где		a%		b
a% a	h2				%		h2
	c2 1			, b		b	c2 1 .

Из этих формул вытекает, что секущая плоскость z=h начинает пересекать двуполостный гиперболоид лишь при |h| c. Иными словами, в слое

–c < z < c не содержится точек рассматриваемой поверхности; в силу симметрии относительно плоскости xOy она состоит из двух полостей, расположенных вне указанного выше слоя. Поскольку при возрастании |h| эллипсы неограниченно увеличиваются, то полости рассматриваемого гиперболоида представляют собой бесконечные «чаши».

Если бы знак минус стоял перед переменной x или y, то «чаши» располагались вдоль оси Ox или Oy, соответственно.

Отметим, что сечениями двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными оси Oz, будут гиперболы.

126

Определение 7. Двуполостный гиперболоид (1.11.5), у которого параметры a = b, является гиперболоидом вращения. Двуполостный гиперболоид вращения получается в результате вращения гиперболы вокруг той ее оси, которая пересекает ее; в данном случае вокруг оси Oz.

1.11.4. Параболоиды

Определение 8. Эллиптическим параболоидом называется поверх-

ность, каноническое уравнение которой имеет вид

	x2		y2	2z ,	(1.11.6)
	a2		b2

в некоторой специально выбранной декартовой системе координат (геометрическое представление эллиптического параболоида смотри в табл. 1.11.1).

Так как в уравнение (1.11.6) только координаты x и y входят в четных степенях, то поверхность имеет две плоскости симметрии xОz и yОz, а центра симметрии не имеет.

Из уравнения (1.11.6) вытекает, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве z 0. Линии пересечения эллиптического параболоида плоскостями z = h, h > 0, представляет собой эллипсы, а плоскостями, параллельными оси Oz – параболы. Если параметры a=b, то данный параболоид будет параболоидом вращения, т.е. он получается в результате вращения параболы вокруг своей оси.

Определение 9. Гиперболическим параболоидом называется поверх-

ность, каноническое уравнение которой имеет вид

	x2		y2	2z ,	(1.11.7)
	a2		b2

в некоторой специально выбранной декартовой системе координат (геомет-

	рическое представление	гиперболического параболоида смотри в
	табл.1.11.1).
	Линии пересечения гиперболического параболоида (1.11.7) с плоско-
	стями z = h представляют собой при h > 0 гиперболы
			x2		y2	1
		2			%
	%		a%		b
		h , а при h<0 – сопряженные гиперболы
	с полуосями a% a h , b b

x2 y2 1 a%2 b2

%

%%

сполуосями a a h , b b h .

Линиями пересечения гиперболического параболоида с плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz, будут параболы. Отметим, что гиперболический параболоид можно построить следующим обра-

127

зом: зададим две параболы так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси обеих парабол параллельны, плоскости, в которых они лежат, взаимно перпендикулярны, а их ветви направлены в противоположные стороны.

Из всех названных поверхностей гиперболический параболоид имеет наиболее сложную форму, а именно форму «седла».

1.11.5. Конус

Определение 10. Конической поверхностью называют поверхность,

образованную прямыми линиями, проходящими через заданную точку пространства (вершину) и пересекающими заданную кривую (направляющую), не содержащую вершину.

Коническая поверхность в некоторой специально выбранной системе координат задается каноническим уравнением вида

	x2		y2		z2	0.	(1.11.8)
	a2		b2		c2

(геометрическое представление конической поверхности было представлено в табл. 1.11.1).

Сечения конуса (1.11.8) плоскостями z = h представляют собой эллип-

% a % b

сы с полуосями a c h , b c h , а сечения плоскостями, параллельными оси

Oz, представляют собой гиперболы. Обратим внимание на плоскости, проходящие через ось Oz. Легко заметить, что здесь сечения представляют собой

прямые линии. Например, если x = 0, то получим уравнение z bc y , описы-

вающее пару прямых. Тогда можно сделать такой вывод: любой конус, описываемый уравнением (1.11.8), образован прямыми линиями, проходящими через начало координат.

В связи с выше изложенным, можно обобщить понятие конуса.

Определение 11. Конусом, или конической поверхностью, называется множество прямых (образующих), соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной).

Если направляющая – кривая 2-го порядка, то получим конус второго порядка. Простейшим конусом второго порядка является круглый конус, или прямой круговой конус, направляющей которого случит окружность, а вершина ортогонально проецируется в ее центр. Ясно, что круглый конус является фигурой вращения, каноническое уравнение которого получается из (1.11.8) при условии a = b.

Отметим, что, при сечение круглого конуса плоскостью получаются все три основные кривые второго порядка. Впервые на это обратили внима-

128

ние еще древние греки. Если плоскость пересекает только одну половину конуса, то сечение будет эллипсом; если плоскость параллельна одной из образующих, то сечение парабола; если плоскость пересекает обе половины конусы, то сечение – гипербола. В связи этим, кривые второго порядка называют-

ся также коническими сечениями.

1.11.6. Цилиндры

Определение 12. Цилиндром, или цилиндрической поверхностью,

называется множество прямых (образующих), параллельных заданному направлению и проходящих через все точки некоторой линии (направляющей).

Если направляющая – кривая 2-го порядка, то получим цилиндр второго порядка. Отметим, если образующие параллельны оси Ox, Oy или Oz, то в уравнениях, описывающих цилиндрическую поверхность, будет отсутствовать переменная x, y или z, соответственно.

В процессе классификации поверхностей второго порядка нам встрети-

лись эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры. Кано-

ническое уравнение этих поверхностей соответственно имеют вид

x2

y2

1,

x2

y2

1, y

2

= 2px, x

2

= 2py .

(1.11.9)

a2

b2

a2

b2

Представление о форме этих цилиндров дают рисунки, приведенные в табл. 1.11. Заметим, что во всех этих уравнениях отсутствует одна переменная, в данном случае z. Это явный признак того, что уравнение описывает цилиндрическую поверхность. Цилиндры, описываемые уравнениями (1.11.9), состоят из прямых линий, параллельных оси Oz.

1.11.7. Примеры решения задач

Рассмотрим простейшие задачи, связанные с поверхностями второго порядка. Основные требования здесь связаны с умением определять тип поверхности по ее каноническому уравнению и приведением уравнения к каноническому виду при помощи выделения полных квадратов.

Задачи

1. Определить тип и построить поверхность второго порядка заданную каноническим уравнением 2x2 + 3y2 =10.

Решение. Так как в данном уравнении отсутствует одна переменная, то это цилиндрическая поверхность. Уравнение 2x2 + 3y2 =10 элементарными алгебраическими преобразованиями можно привести к виду канонического уравнения эллипса, центром симметрии которого является начало координат, поэтому заданное уравнение описывает эллиптический цилиндр: