Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

159

–тригонометрические;

–обратнотригонометрические;

	ex e x		ex e x		ex e x
– гиперболические chx		, shx		; thx			.
	2		2		x	x
					e	e

Пример. y 3xx , y xarctgx, y ln2 x – трансцендентные функции.

160

ЛЕКЦИЯ 2.3. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Понятие предела является одним из основных в математическом анализе. В элементарной математике с помощью предельных переходов определяется длина окружности, объемы цилиндра и конуса, сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2.3.1. Предел переменной величины.

Если значения переменной величины x в процессе её изменения как угодно близко приближаются к некоторому числу a , то говорят, что пере-

менная величина стремится к a или предел переменной величины равен a , обозначают x a или lim x a .

Различные переменные величины к своему предельному значению могут стремиться по разному: убывая справа, возрастая слева, колеблясь около своего предельного значения.

						Пример. Рассмотрим математический маятник (см.
					рис.2.3.1). – угол отклонения маятника от положения
		φ
					равновесия – переменная величина.
						Маятник стремится к положению равновесия, это
					значит, что угол отклонения, изменяясь со временем, ко-
	рис. 2.3.1				леблется около своего предельного значения, стремясь к
					нулю, т.е. lim 0 .
								t
								Определение. Пусть a – некоторое значение пе-
a–ε a		a+ε	x		ременной величины x				и – сколь угодно малое поло-
					жительное число. Все точки интервала a x a
	рис. 2.3.2				(кроме самой точки a ), удовлетворяющие неравенству
						x a		, образуют	–окрестность точки a (см.

рис.2.3.2).

Определение. Пределом переменной величины x называется число a ,

если для любого сколь угодно малого числа 0 , найдется такое значение переменной величины x0 , что для всех значений переменной величины,

больших x0 , выполняется неравенство x a .

Иначе говоря, если a – предел переменной величины x , то все значения переменной величины x , большие x0 , попадут в –окрестность точки a .

Аналогично можно дать определение предела для числовой последовательности (функции y f n , где n N ).

161

Определение. Число a называется

xn

пределом последовательности xn , если

a+ε

для любого сколь

угодно

малого

числа

0

найдется такой номер n0 , что для

a

всех номеров n n0

выполняется неравен-

a-ε

1 2

n0

n

ство

xn a

.

если lim x

a ,

3

4

Иначе говоря,

то все

рис. 2.3.3

n

n

точки n; xn , начиная с n n0 ,

попадают в

полосу, ограниченную прямыми a и a (см. рис. 2.3.3).

Пример. Используя определение предела последовательности, дока-

зать, что

1

2 .

lim 2

n

n

Решение:

x

2 1

, x

:3;

2 1

;2 1 ; 2 1 ;

... По определению, число 2 будет пределом

n

n

n

2

3

4

2 1

данной

последовательности

x

,

если для любого

0 найдется

n

n

1 1 n 1 , т.е.

n N ,

такое что для всех n n

2 1 2

, т. е.

0

0

n

n

для всех

n n

1

,

где

1

целая часть числа 1 .

Пусть

0,01,

тогда

0

n0 100. Таким

образом существует n0 100, такое

что для всех n 100

x

2

0,01. Ч.

и т. д. Значит lim 2

1

2 .

n

n

2.3.2. Предел функции

n

Рассмотрим y f x – функцию одной переменной, определенную в

– окрестности точки x0 .

Определение. Число A называется пределом функции y f x

в точ-

ке x0

(или при x x0 ), если для любого наперед заданного сколь угодно ма-

лого

0 , найдется такое число 0, что для всех x , удовлетворяю-

y

y=f(x)

f x A

щих условию

x x0

, выполняется неравенство

.

				162
				Иначе говоря, если	lim f x A ,	то точки
A+ε					x x0
f(x)				графика функции с абсциссами из – окрестности
A				точки x0 и соответствующими им ординатами из
A–ε			x0
				-окрестности точки A должны лежать в полосе,
				ограниченной двумя прямыми y A и		y A
0 x0–δ x0	x0+δ	x		(см. рис. 2.3.4).
				Примеры.
рис. 2.3.4					3x 12 9 .
				1. Доказать, что lim
				x 1
Решение:	lim	3x 12 9 , если для любого сколь угодно малого 0 ,
	x 1
найдется такое число 0, что для всех x , удовлетворяющих условию

x 1

, выполняется неравенство

3x 12 9

, т. е.

3x 3

x 1

,

0 .

3

тогда

3

Если 0,03, то 0,01 и для всех x удовлетворяющих неравенству

x 1

0,01

3x 12 9

0,03, а значит lim 3x 12 9 . Ч. и т. д.

x 1

2. Доказать, что если

f

x c , то lim c c .

Решение: Для любого

x x0

0 можно взять любое

0 ,

тогда при

x x0

, x x0 имеем

f x c

c c

0 . Следовательно,

lim c c .

x x0

В связи с тем, что для функции одной переменной можно приближать-

ся к x0 по двум направлениям (слева и справа), существуют понятия лево-

стороннего и правостороннего пределов.

Определение. Число A1 называется левосторонним пределом функ-
ции y f x в точке x0 ,		если для любого сколь угодно малого наперед за-
данного числа 0 , найдется такое число 0, что при x x0 ; x0
выполняется неравенство		f x A1				.
Иначе говоря, если		x x0 слева (оставаясь меньше					x0 ),	то предел
функции y f x – левосторонний, записывается в виде lim							f	x A1 .
						x x0 0
Определение. Число A2 называется правосторонним пределом функ-
ции y f x в точке x0 ,		если для любого сколь угодно малого наперед за-
данного числа 0 , найдется такое число 0, что при x x0; x0
выполняется неравенство		f x A2				.

163

Иначе говоря, если x x0		справа (оставаясь больше x0 ),		то предел
функции y f x – правосторонний, записывается в виде lim f				x A2 .
			x x0 0
Пределы функции слева и справа называются односторонними преде-
лами.
Имеют место теоремы о существовании предела функции в точке.
Теорема 1.	Если существует lim		f x A, то существуют односто-
	lim f x A1 ,	x x0
ронние пределы		lim	f x A2 , которые равны между со-
x x0 0		x x0 0

бой и равны пределу функции в точке x0 , т. е. A1 A2 A .

Теорема 2 (обратная). Если существуют равные межу собой односто-

ронние пределы, т. е. A1 A2 A , то существует lim f x A.

x x0

Если же, A1 A2 , то lim f x не существует.

x x0

Пусть функция y f x определена на интервале ; . Определение. Число A называется пределом функции y f x при

x , если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа 0 найдется число M M 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих усло-

вию

x

M

выполняется неравенство

f x A

.

x ; M

Иначе

говоря, если lim

f x A,

то для

всех

или

x M ;

x

f

x

–

соответствующие значения

функции

попадают в

окрестность точки A , т.е. точки графика лежат в полосе, ограниченной пря-

мыми y A и y A (см. рис. 2.3.5).

y

A+ε

A

A–ε

–M

0

M

x

рис. 2.3.5

Если

x , то пишут

lim f x A , если

x , то пишут

lim

f x A .

x

x

164

Рассмотрим z f x; y – функцию двух переменных, определенную на

некоторой области D .

Определение. Пусть точка M0 x0; y0 D и – некоторое сколь угод-

но малое положительное число.

Совокупность всех точек x; y , лежащих

внутри окружности с центром в точке M0

и радиусом (за исключением са-

мой

точки

M0 ,

т.е.

x x0, y y0 ),

удовлетворяющих

неравенству

x x

2 y y 2 ,

образуют

–

y

0

0

окрестность точки M0 (см. рис.2.3.6).

M

y

δ

Определение. ЧислоA называется пределом

y0

α

функции двух

переменных

z f x; y в

точке

M0

D

M0 x0; y0 , если для любого малого числа

0

0

x0

x

x

найдется число 0, такое, что для всех точек из

рис. 2.3.6

–окрестности точки M0 выполняется неравенст-

во

f x; y A

.

Обобщим понятия предела в точке для функции любого числа пере-

менных.

переменных z f x1; x2;...; xn ,

Рассмотрим функцию n

которая опре-

делена в некоторой

области

D

n – мерного пространства.

Пусть

точка

M0 x10; x20;...; xn0 D ; – окрестность этой точки будет представлять сово-

купность точек, расположенных внутри n -мерного шара с центром в точке M0 и радиусом , координаты которых удовлетворяют неравенству:

x1 x10 2 x2 x20 2 ... xn xn0 2 , где x1 x10; x2 x20;...; xn xn0 .

Определение. ЧислоA называется пределом функции z f M в точке M0 , если для любого сколь угодно малого числа 0 найдется число0 , такое, что для всех точек –окрестности точки M0 выполняется нера-

венство f M A , где f M f x1; x2;...; xn .

Понятия предела в точке для функций одной, двух и большего числа переменных можно получить из последнего определения как частные случаи при n 1, n 2, n 3 и т. д.

Анализируя это определение предела функции предела функции в точке M 0 , отметим его особенности:

– в определении не рассматривается значение функции в точке M0 , по-

этому функция может быть не определена в этой точке, но иметь в ней предел;

165

– о существовании предела функции в этой точке M0 можно говорить

только в том случае, если при приближении к этой точке по различным направлениям значения функции стремится к одному и тому же числу. В частности, для функции z f x; y существование предела в точке M0 0;0 рав-

носильно его существованию при стремлении к M0 по любым направлениям

(например, по прямым y kx , параболам y2 2 px ,	y ax3 и т.д.), а	для
функции y f x можно устремляться к точке M0	по оси OX слева	или

справа;

– определение предела не дает способов его вычисления , оно дает возможность доказать его существование.

2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойст-

ва

Определение. Функция одной переменной y f x называется беско-

нечно большой при x x0 ,

если для любого сколь угодно большего числа

L 0 найдется число L 0

такое, что для всех x , удовлетворяющих

условию

x x0

, выполняется неравенство

f x

M , т. е. lim f x .

Функция y

1

x x0

Пример.

есть бесконечно большая функция при

2x

3

x 3 .

2

Если f x стремится к бесконечности при x x0 и принимает лишь

положительные значения, то пишут lim f x ; если лишь отрицатель-
	x x0
ные значения, то lim	f x .
x x0
Аналогично можно дать определение для функции n – независимых
переменных.	Функция z f x1, x2 ,...xn называется бесконечно
Определение.

большой при M M0 , если для любого сколь угодно большого числа L 0 найдется такая –окрестность точки M0 , для всех точек которой выполняет-

ся неравенство		f x1, x2 ,...., xn		L , т.е.	lim f M .
					M M0

166

Пример. Функция двух переменных z ln x2 y2 в окрестности точ-

-e

x

ременной

ки

M 0;0

(начало координат) является

z

бесконечно большой функцией,

так как

x 0

ln

x2 y2

(см. рис.2.3.4).

lim

0

Отметим,

что

функция

-1

1

e y z f x1, x2 ,...xn

может являться беско-

1

нечно большой функцией только в ок-

рестности точки M0 ; в других частях

области определения она может быть ог- рис. 2.3.4 раниченной величиной.

Определение. Функция одной пе- y f x , заданная на всей числовой оси, называется бесконечно

большой при x , если для любого сколь угодно большого числа L 0 найдется такое число N N L 0, что для всех x , удовлетворяющих усло-

вию		x		N , выполняется неравенство			f x		L , т. е.	lim f x .
										x
		Пример. y ax для a 1 есть
							бесконечно			большая функция при

x , т. е. lim ax .

x

Аналогично, функция z f x1, x2 ,...xn , заданная на всех точках n – мерного пространства, называется бесконечно большой при M , если

lim f M .

M

Определение. Функция одной переменной y f x называется беско-

нечно малой при x x0 , если	lim f x 0, т. е. для любого сколь угодно
	x x0

малого 0 найдется число 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих

условию		x x0		, выполняется неравенство		f x		, т.е. lim	f x 0.
								x x0	x x0 0 ,
Аналогично определяется бесконечно малая функция при
x x0 0 , x , x : во всех этих случаях f x 0 .

Примеры.

1.y x 3 – бесконечно малая при x 3.

2.y x12 – бесконечно малая при x .

3.y tgx – бесконечно малая при x k , k Z .

167

Определение. Функция нескольких переменных z f x1; x2;...; xn называется бесконечно малой при M M0 , если для любого сколь угодно малого числа 0 найдется такая – окрестность точки M0 , для всех точек

	которой выполняется неравенство		f x1; x2;...; xn			, т.е.	lim f M 0 .
							M M0
	Пример. Функция двух переменных			z 2x y –
							бесконечно малая
	функция в – окрестности точки M 1; 2 ,			lim 2x y 0.
				x 1
				y 2
	Функция любого числа переменных может быть бесконечно малой
	функцией только в окрестности предельной точки.
	Пример. Функция z x2 y2 – бесконечно малая функция в окрестно-

сти начала координат при x 0 и y 0 , а при бесконечном удалении от на-

чала координат по любому направлению при M она неограниченно возрастает. Следовательно, при M она является бесконечно большой функцией.

Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами, их обозначают обычно греческими буквами

, и т. д. или 1, 2,..., n ,....

Свойства бесконечно малой величины и её связь с бесконечно боль-

шой величиной сформулируем в виде теорем, и представим доказательства

некоторых из них.

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых

функций есть бесконечно малая функция, т.е.

если

i M

– бесконечно

малая функция,

где

i

,

то

1,n

1 M 2 M ... n M – бесконечная функция.

Доказательство: Пусть 1 M и 2 M две бесконечно малые функ-

ции

n независимых переменных при M M0 . Тогда

lim 1 M 0

и

lim

2 M 0 .

M M0

M M0

По определению предела это значит, что для любого 0 , а значит и

0

найдутся –окрестность и

2

–окрестность точки M

0

, для всех точек

2

1

которых

будут

соответственно

выполняться неравенства

M

и

1

2

2 M

.

2

Пусть –наименьшее из чисел 1 и 2 , тогда для всех точек из – ок-

рестности будут выполняться оба эти неравенства.

168

Следовательно, имеет место соотношение

1 M 2 M

1 M

2 M

.

2

2

lim 1 M 2 M 0 ,

1 M 2 M –

Это значит, что

т. е.

M M0

бесконечно малая величина при M M0 . Ч. и т. д.

Доказательство сохраняется, если вместо суммы двух бесконечно малых функций рассматривать их разность, а также в случае любого конечного числа бесконечно малых функций.

Теорема 4. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Доказательство:

Если M – бесконечно малая функция, а f M – ограничена, то f M M – бесконечно малая функция.

Доказательство проведем для функции одного неизвестного.

Рассмотрим функцию y f x ,

которая ограничена при

x x0 , тогда

по определению ограниченной функции (см. п.2.2.4) существует такое L 0 ,

что для всех x

из 1 –окрестности

точки x0 выполняется

неравенство

f x

L .

Пусть x

– бесконечно малая функция при x x0 , тогда для любого

0 , а значит, и

0 найдется такая

2

–окрестность точки

x , для всех

L

0

точек которой выполняется неравенство

x

.

L

Обозначим через наименьшее из чисел 1 и 2 , тогда для всех точек

из – окрестности точки x0 выполняются оба неравенства. Следовательно, имеет место соотношение

f x x

f x

x

L .

L

Это значит, что lim f x x 0 , т. е.

f x x – бесконечно ма-

x x0

лая функция.

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение числа (постоянной) и бесконечно малой величины есть функция бесконечно малая.

Теорема 5. Частное от деления бесконечной малой функции на функцию, имеющую предел отличный от нуля, есть функция бесконечно малая