Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

189

2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных

Пусть y f x – функция одной переменной. Рассмотрим два опреде-

ления непрерывности этой функции в точке.

Определение 1. Функция y f x называется непрерывной в точке x0 , если эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое при-

ращение функции, т. е. lim y 0 .

x 0

Пример. Функция y x2 – непрерывна в любой точке x0 .

Так как, y x0 x 2 x0 2 x0 2 2x0 x x 2 x0 2 2x0 x x 2 , то

lim y lim 2x0 x x 2 0. А это и означает, что функция непрерывна.

x 0 x 0

Определение 2. Функция y f x непрерывна в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки, существуют конечные од-

носторонние пределы функции в этой точке, которые равны между собой и
равны значению функции в точке x0 , т.е. lim f x lim		f x A, где
x x0 0	x x0 0
A f x0 . Иначе говоря, существует предел функции	y f x	в точке x0 и
он равен значению функции в этой точке.
Определение. Функция y f x называется непрерывной на интер-

вале, если она непрерывна в каждой его точке.

Замечание. Все основные элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

Пусть z f x; y – функция двух переменных.

Определение. Функция z f x; y называется непрерывной в точкеx0 ; y0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов x и y соответствует бесконечно

малое приращение функции – z , т.е. lim z 0.

x 0y 0

Определение. Функция z f x; y непрерывная в каждой точке облас-

ти называется непрерывной в этой области.

Сформулируем теоремы о непрерывных функциях, которые следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах (см. п. 2.4.1).

Теорема 1. Сумма, произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией непрерывной в той же точке.

Теорема 2. Частное двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если знаменатель отличен от нуля.

190

Теорема 3. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

Теорема 4. Функция, обратная к монотонной и непрерывной функции, непрерывна.

Непрерывность функции в замкнутом интервале обуславливает наличие у этой функции ряда важных свойств общего характера. Укажем некоторые из них.

Теорема 5. Функция, непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема 6. Функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в ноль внутри интервала.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 8. Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b и принимает на его концах неравные значения f a A и f b B , то на этом от-

резке она принимает и все промежуточные значения между A и B . Приведенные свойства можно перенести на функцию любого числа пе-

ременных, непрерывную в замкнутой области D .

2.6.3. Точки разрыва

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции,

называются точками разрыва этой функции, а сама функция – разрывной в

этой точке.					– точка разрыва функции y f x , то в ней не выполняется
Если x x0
по крайней мере одно из условий определения 2 непрерывности функции.
Определение. Точка x0 называется точкой разрыва I–го рода функ-
ции y f x , если односторонние пределы функции в этой точке существу-
						ют,	конечны,	но не равны между собой, т.е.
	y					lim	f x A,	lim		f x B и A B .
						x x0 0		x x0 0
										1 x,	если x 0,
			2				Пример. Функция f x
			1							x2 ,	если x 0,
					x	задана аналитическими выражениями двух функ-
-1 0
рис. 2.6.5						ций y 1 x		и y	2	x2 , которые непрерывны со-
							1				0; (см.
рис. 2.6.5).						ответственно на интервалах ;0 и

					191
x0 0	–	точка	разрыва		I-го	рода,	так	как	f x0 f 0 1,
lim f x		lim 1 x 1,		lim	f x lim	x2 0,	т.е.	односторонние пределы
x 0 0		x 0 0	x 0 0		x 0 0
функции	y f x в точке			x0 0 существуют, конечны, но не равны между
собой.

Определение. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва

функции y f x , если односторонние пределы функции в этой точке суще-

ствуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в этой

точке, т.е.

lim

f x lim

f x

A и A f x0 .

x x0 0

x x0 0

y

3

x 1,

если x 0,

Пример. Для функции f x

1,

если x 2,

3 x,

если x 0,

(см. рис. 2.6.6)

0

2

x

1

x0 2

–

точка устранимого разрыва,

так как

–1

рис. 2.6.6

f x f 2 1, lim

f x lim f x 1, т.е. односторон-

0

x 2 0

x 2 0

ние пределы функции

f x в точке x0

2 существуют,

конечны, равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Разрыв можно устранить, если вместо f x 1 при x 2 придать функции

значение f x 1.

Определение.

x0 называется точкой разрыва II

–го рода функции

y f x , если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа)

функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

y

Пример. Функция f x

1

– определена

x 3

и непрерывна на всей числовой оси кроме точки

0

x

x0 3

(см. рис. 2.6.7). x0 3 – точка разрыва II-го

рода,

так

как

lim

f x

lim

1

;

рис. 2.6.7

f x

1

x 3 0

x 3 0 x 3

lim

lim

.

x 3 0

x 3 0 x 3

Аналогично, для функции двух переменных z f x; y ,

точки, в кото-

рых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Эти точки могут образовывать целые линии разрыва.

Пример. Функция z x 3 y имеет линию разрыва y x .

192

ЛЕКЦИЯ 2.7. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.....................	194
2.7.1. Задачи, приводящие к понятию производной..........................	194

2.7.2. Определения производной и частных производных, их

геометрический смысл............................................................................

196

ЛЕКЦИЯ 2.8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

ФУНКЦИЙ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. ..........................................	202
2.8.1. Производные некоторых элементарных функций..................	202
2.8.2. Производная сложной функции..................................................	204
2.8.3. Производная обратной функции.................................................	206
2.8.4. Таблица производных....................................................................	208

ЛЕКЦИЯ 2.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ,

ИНВАРИАНТНОСТЬ	ФОРМЫ.	ПРИМЕНЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯ........			209
2.9.1. Производная неявно заданной функции		....................................	209
2.9.2. Производная функции, заданной параметрически.................			211
2.9.3. Логарифмическое дифференцирование.....................................			212

ЛЕКЦИЯ 2.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯ........ 214 2.10.1. Понятие дифференциала функции одной переменной и его

геометрический смысл............................................................................

214

2.10.2. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух

переменных................................................................................................

215

2.10.3. Основные теоремы о дифференциалах. Инвариантность

формы..........................................................................................................

217

2.10.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

...................................................................................................................... 218

ЛЕКЦИЯ 2.11. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ..................................................................................................

221

2.11.1. Производные высших порядков функции одной переменной

......................................................................................................................	221
2.11.2. Частные производные высших порядков...............................	223

2.11.3. Полные дифференциалы высших порядков функции одной и

нескольких переменных..........................................................................					225
ЛЕКЦИЯ	2.12.	ТЕОРЕМЫ	О	СРЕДНЕМ	ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ..................................................					226
2.12.1. Теорема Ролля и её геометрический смысл............................					226
2.12.2. Теорема Коши		...............................................................................			227
2.12.3. Теорема Лагранжа и её геометрический смысл.....................					228

193

ЛЕКЦИЯ 2.13. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ, РАСКРЫТИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ...........................					230
2.13.1. Правило Лопиталя.......................................................................					230
2.13.2. Раскрытие неопределенностей ..................................................					231
2.13.3. Формула Тейлора.........................................................................					234
Лекция	2.14.	ПРИМЕНЕНИЕ	ПРОИЗВОДНЫХ		К
ИССЛЕДОВАНИЮ		ФУНКЦИЙ.	ОБЩАЯ	СХЕМА
ИССЛЕДОВАНИЯ ФНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА...........					239
2.14.1. Асимптоты графика.....................................................................					239
2.14.2. Интервалы монотонности. Экстремумы функции................					241

2.14.3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

...................................................................................................................... 245

2.14.4 Наибольшее и наименьшее значения функции ......................

248

ЛЕКЦИЯ 2.15. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ...........................................................................................	251
2.15.1 Локальные экстремумы функции двух переменных.............	251

2.15.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой

области........................................................................................................	254
2.15.3 Условные экстремумы .................................................................	256
Контрольные вопросы и задания для самопроверки..........................	260

194

ЛЕКЦИЯ 2.7. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

2.7.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим следующие задачи: о нахождении скорости произвольного неравномерного движения (задача 1) и о построении касательной к графику функции (задача 2).

Задача 1. Пусть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторой прямой. Пройденный путь S зависит от времени t по закону S S t .

Требуется найти скорость движения точки в данный момент времени (мгновенная скорость).

Решение: Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение M , тогда в момент времени t t ( t – приращение времени) точка займет положение M1 . Таким образом, перемещение точки M за время t будет

							S S t t S t (см. рис. 2.7.1).
	О	M				M1	Среднюю скорость движения точки за время t
		S(t)			∆S		выражает отношение	S	, т.е. vср.	S	.
		S(t+∆t)						t		t
		рис. 2.7.1					Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем
							меньше t , тем точнее средняя скорость выражает
							скорость движения точки в данный момент времени t.

Поэтому предел средней скорости движения при t 0 и есть мгновенная

скорость, мг. lim	S	, или
t 0	t		S t t - S t .
		мг. lim		(2.7.1)
		t 0	t
Задача 2. Пусть дан график непрерывной кривой y f x , имеющий в
точке M x0 , y0 невертикальную касательную.				Для построения этой каса-

тельной требуется найти её угловой коэффициент k tg , где – угол на-

клона касательной к оси OX .

Решение: Проведем через точку M x0 , y0 и точку M1 x0 x, y0 y секущую (см. рис. 2.7.2), где угол – угол наклона секущей к оси OX .

Vp lim

t 0

lim

t 0

N t t N t ;

t

195

kсек. tg yx (как отношение противолежащего катета к прилежащему в

прямоугольном треугольнике MM 2 M1							(см.		рис. 2.7.2)). Таким образом,
k tg	f x0 x f x0			.
сек		x
		y				y=f(x)
		y0+∆y				M1
									∆y
		y0			M	φ		M2
						∆x
				α	φ
		0			x0 x0+∆x				x
				рис. 2.7.2
Так как y f x			– непрерывная функция, то при x 0								приращение
y тоже стремится к нулю, поэтому точка M1									неограниченно приближается
по кривой к точке M , а секущая						MM1 переходит в касательную. Угол
→ , т.е.		lim lim tg tg . Найден угловой коэффициент каса-
		x 0		x 0	y ,
тельной k tg lim tg lim
		x 0		x 0	x
				k lim	f x0	x f x0				.	(2.7.2)
				x 0		x

К нахождению пределов вида (2.7.1) и (2.7.2) приводят решения и множества других задач.

Например:

– если Q Q t – количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t , то I – сила тока в момент времени t равна

I lim	Q	lim	Q t t Q t	;	(2.7.3)
	t
t 0		t 0	t
– если N N t – количество вещества, вступающего в химическую реакцию
за время t , то Vp – скорость химической реакции в момент времени t					равна

N

t

– если m m x – масса неоднородного прямолинейного стержня, то нейная плотность стержня в точке x равна

(2.7.4)– ли-

			196
lim	m	lim	m x x m x	.	(2.7.5)
	x
x 0		x 0	x

Пределы (2.7.1) – (2.7.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел назвали производной.

2.7.2. Определения производной и частных производных, их геометрический смысл

Рассмотрим функцию одной переменной y f x , определенную на некотором интервале a; b .

Проделаем следующие операции:

– аргументу x a;b дадим приращение x , причем x x a;b ;

–	найдем		соответствующее		приращение	функции:
y f x x f		x ;
–	найдем	«среднюю скорость»		изменения функции		на отрезке
x; x x , равную		y	f x x f x	;
			x
		x

– так как при x 0 значение «средней скорости» стремиться к значению скорости изменения функции в точке, то найдем последнюю как предел

	lim	y	lim	f x x f x	f x .
		x		x
	x 0		x 0

Производная характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Определение. Производной функции одной переменной y f x в

точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, при стремлении к нулю приращения аргумента. Обо-

значается f x , fx , y ,	yx ,	dy .
		dx	f x x f x
		y lim			.
		x 0	x
Пример. Найти производную функции y				3x 5 .

x

Решение: Зададим приращение аргументу: x x x .

y

Тогда y x y x x .

197

y y x x y x 3 x x 5 3x 5

(

3 x x 5

3x 5)(

3 x x 5

3x 5)

3 x x 5 3x 5

3 x

3 x x

5

3x 5

.

3x 3 x 5 3x 5

3x 3 x 5 3x 5

Теперь,

y

3 x

3

,

x

x

3x

5

3x

5

3x

5

3x

5

3 x

3 x

3

3

3

y lim

,

3x 3 x 5 3x 5

3x 5 3x 5

2 3x

5

x 0

3

т.е. 3x 5

.

2 3x 5

3

Ответ:

3x 5

.

2

3x 5

Обобщая, можно сказать,

что если функция y f x описывает какой-

либо физический процесс,

то производная y есть скорость протекания этого

процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В частности, если этот процесс – прямолинейное неравномерное движение, то скорость движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной t S t .

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент

касательной k tg lim	y	, но	f x0	lim	y .
x 0	x			x 0	x
Следовательно, производная f x0				в точке x0 равна угловому коэф-

фициенту касательной к графику функции y f x в точке, абсцисса кото-

рой равна x0 . В этом заключается геометрический смысл производной.

	Зная это, можно составить уравнение касательной и нормали (прямой,
перпендикулярной касательной в точке касания) к графику функции.
y		Если	M x0 ; y0	– точка	касания (см.
		рис.2.7.3) и kкас f x0		, то kнорм.	1	.
					f x0
	M	Тогда, используя уравнение прямой прохо-
		дящей через заданную точку в заданном направле-
	α	нии y y0	k x x0 , можно записать:
0	x	– уравнение касательной: y y0 f x0 x x0 ;
	рис.2.7.3

	198
– уравнение нормали: y y0	1	x x0 (если	f x0 0 ).

f x0

Определение. Функция y f x имеющая производную в каждой точке интервала a; b , называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями

Пусть u u x , v v x и w w x .

1. Производная постоянной равна 0, c 0.

2. Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных этих функций

u v w u v w .

3.Постоянный множитель можно выносить за знак производной

c u c u .

4. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго

u v u v u v .

5.Производная частного двух функций uv , если v 0 , равна отношению раз-

ности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя

u			u v uv		.
			v2
v

Существует связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Так как функция дифференцируема в данной точке, то существует пре-

дел	lim	y	f			y	f
		x		x . На основании теоремы 7 п.2.3.3		x		x или
	x 0
					при x 0 .
y f x x , где 0