Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

	169
	т.е. если M – бесконечно малая функция и			lim	f M 0 , то			M			–
				M M0					f M
	бесконечно малая величина.						1
	Теорема 6. Если функция f M – бесконечно малая, то									есть
						f M
				f M
	бесконечно большая функция и наоборот: если				– бесконечно большая
	1		– бесконечно малая.
	функция, то
		f M

Доказательство:

Пусть f M – бесконечно малая функция при M M0 , т.е.

lim f M 0 . Тогда для любого 0 найдется такая – окрестность точ-

M M0

ки M0 , для всех точек которой выполняется неравенство

f M

.

Следовательно,

1

1

, т.е.

1

L , где

L

1

. А это означает,

f M

f M

что функция f 1M – есть бесконечно большая функция. Ч. и т. д.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание. Доказательства теорем 3–6 приводились для случая, когда M M0 x x0 , но они справедливы и для случая, когда M x .

Пример. Показать, что функция f x x 3 sin3

1

при x 3

x 3

является бесконечно малой.

x x 3

Решение:

lim

x 3 0 функция

– бесконечно малая

x 3

1

1

1 функция g x

sin3

при x 3.

sin3

,

x 3, ограничена.

x

3

x 3

Таким образом, функция f x x 3 sin3

1

– есть произведение

x 3

бесконечной малой и ограниченной функции. Значит по теореме 4 это функция бесконечно малая при x 3.

Рассмотрим теорему о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема 7. Функция z f M имеет предел равный A тогда и только
тогда , когда её можно представить как сумму числа A и бесконечно малой
функции M , т.е. lim	f M A f M A M .
M M0

170

Доказательство:

lim f

M A ,

то

Докажем

прямое

утверждение:

если

f M A M .

M M0

Пусть

lim

f M A 0 0

точки M из – окрестности

M M0

точки M0

f M A

] , т. е.

f M A 0

.

Это значит, что

M M0

f

M

A

0 , т.е. что

функция

f

M

A яв-

lim

ляется

бесконечно

малой,

которую

обозначим

через

M ,

тогда

f M A M . Отсюда f

M A M .

Ч. и т. д.

Докажем

обратное

утверждение:

если

f M A M ,

то

lim

f M A . Пусть

f M A M ,

где M – бесконечно малая

M M0

lim M 0 0

функция при M M0 , т. е.

0 точки M из

M

M0

–окрестности точки M0

M

.

По условию f M A

M

, то M f M A .

Получаем,

что

0

0

точки

M из –окрестности точки

M0

f M A

.

А это и означает, что lim f M A . Ч. и т. д.

M M0

171

ЛЕКЦИЯ 2.4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ

2.4.1. Теоремы о пределах

Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при M M0 и при

M .

Эти теоремы позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.

Теорема 1.	Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. если
z f M c , то	lim f M c .

M M0

Теорема 2. Предел суммы конечного числа функций в точке M0 равен сумме пределов этих функций в этой точке:

lim

f

M f

M ... f

M lim

f M

lim

f

M ...

M M0

1

2

n

M M0

1

M M0

2

lim

fn M .

Доказательство:

M M0

Приведем доказательство для суммы двух функций. Докажем, что

lim

f

M f

M

lim

f

M

lim

f

M .

M M0

1

2

M M0

1

M M

0

2

Пусть

lim

f

M A и

lim

f

M B . Тогда по теореме 7 (п.2.3.3)

M M0

1

M

M0

2

можно записать

f1 A 1 M и

f2 B 2 M .

Следовательно,

f1 M f2 M A B 1 M 2 M ,

где

1 M 2 M

бесконечно малая функция как сумма бесконечно малых

функций.

Тогда

по

теореме

7

(п.2.3.3)

можно записать

lim

f1 M f2 M

A B , т.е.

M M0

M

f M

M

. Ч. и т. д.

lim

f

M f

lim

lim

f

M

M0

1

2

M M0 1

M M0

2

В случае разности двух функций и суммы любого конечного числа функций доказательство аналогично.

Следствие 1. Функция может иметь только один предел при M M0 . Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций в точке M0

равен произведению пределов этих функций в этой точке:

172

lim

f1 M f2 M

... fn M

M

M0

lim

f

M

lim

f

M ... lim f

n

M .

M M0 1

M M0

2

M M0

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim

c

f M c

lim f M .

M M0

M M0

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, делимому на пре-

дел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

f1

M

lim

f

M

M M0

1

lim

lim f2 M 0

.

f2

M

lim

f2

M

M M0

M M0

Примеры.

M M0

3x2

1. Найти lim

8

.

2x

1

x 2

Решение: В данном случае предел функции, стоящей в знаменателе, при x 2 отличен от нуля, поэтому можно применить приведенные выше теоремы:

3x2 8

3 lim x2

lim 8

3 4 8

4

lim

x 2

x 2

.

2x 1

2

lim 7

2 2

7

3

x 2

lim x

x 2

x 2

Иначе говоря, в данном случае, чтобы найти предел, можно вместо не-

зависимой переменной подставить её значение в предельной точке.

2. Найти

lim

2xy3 3y

.

x2 y2

5

x 1

y 2

Решение: Функция x2 y2 5, стоящая в знаменателе дроби при x 1

и y 2 стремится к числу 12

2 2

5 1 2 5 2 0 , тогда

2xy

3

3y

2lim x lim y3

3 lim y

2

1

2

3

3

2

16 6

lim

x 1

y 2

y 2

11

x2 y2 5

lim x2

lim y

2 lim 5

12 22 5

2

x 1

y 2

x 1

x 1

x 1

y 2

Пример аналогичен предыдущему: вместо независимых переменных необходимо подставить их значения в предельной точке.

3. Найти lim 3x 2 .

x 2 x 2

Решение: Предел знаменателя x 2 при x 2 равен нулю и теорема 4 не применима. В данном случае воспользуемся свойством бесконечно малой

173

функции (см. п.2.3.3 теорема 6). Функция 3xx 22 – бесконечно малая при x 2 , тогда обратная ей дробь 3xx 22 – бесконечно большая функция, а зна-

чит lim 3x 2 .

x 2 x 2

Таким образом, если знаменатель дроби не обращается в ноль, то чтобы найти такой предел, достаточно в выражение функции подставить предельные значения независимых аргументов. Если же знаменатель стремиться

к нулю к , а числитель к некоторому постоянному числу, то при нахож-

дении предела используют свойство бесконечно малой величины (см. п.2.3.3 теорема 6).

В случае неопределенных выражений, характеризуемых условно сим-
волами: ; 0 ;		0		;			;	1		;	00		;	0		(будем называть их
		0

	неопределенностями), которые возникают при отыскании предела выраже-
	ний: f M M ;	f M	; f	M M	или f M M		предел может
		M

существовать или не существовать. В пределах такого типа, требуются дополнительные преобразования или специальные исследования. Рассмотрим некоторые из них.

I. Требуется найти предел дробно-рационального выражения вида

Pm x (отношение двух многочленов) при x , тогда в пределе будет

Qn x

		. Чтобы раскрыть её, необходимо чис-
иметь место неопределенность

литель и знаменатель дроби разделить на переменную в наибольшей степени.

x3

5x

2

5

2

x3 5x 2

x3

1

.

Пример. lim

lim

x3

x3

lim

x2

x3

2

x

15x

8

x

15x

2

8

x

15

8

x

x3

x3

x3

Предел числителя равен 1, а знаменатель при x сумма бесконечно малых величин, т.е. величина бесконечно малая, поэтому вся дробь – есть бес-

			5		2
	x3 5x 2		1
конечно большая величина, т.е. lim		lim		x2			x3			.
	15x2 8		15
x		x			8
			x
						x3

174

Пользуясь рассмотренным выше способом можно вывести правило

раскрытия неопределенности

в пределе отношения двух многочле-

нов

am

если m n,

,

b

P x

n

lim

m

0,

если

m n,

x Qn x

,

если

m n.

Пример. lim

13x2

7x

13

1

, так как m n 2 и

a 13 ,

x 3 26x2

26

2

2

b2 26 .

II. Пусть требуется найти предел дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при M M0 , тогда в пределе будет иметь место неоп-

ределенность 0 .

0

а) Если числитель и знаменатель – многочлены, то чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь.

В некоторых случаях удобнее разделить числитель и знаменатель на критический множитель x x0 (для функции одной переменной), или вос-

пользоваться определением предела.

Примеры.

1.

x2 5x 36 0

x 9 x 4

x 9

13

lim

lim

lim

(при

3x

3

48x

3x x 4 x 4

4

96

x 4

0

x 4

x 4 3x x

сокращении на x 4 учитывается, что x 4 , но x 4 ).

2.

x2 xy 2 y2 0

x2 xy 2xy 2 y2

lim

lim

2

4xy 3y

2

x

2

xy 3xy 3y

2

x 1 x

0

x 1

y 1

y 1

lim

x x y 2 y x y

lim

x y x 2 y

lim

x 2 y

3 1,5

x y x 3y

x 3y

x 1 x x y 3y x y

x 1

x 1

2

y 1

y 1

y 1

3.

x3 2x 12

0

lim

. Разделим числитель и знаменатель на критиче-

x

4

5x 6

0

x 2

ский множитель x 2

x 2 :

175

Тогда

lim

x3

2x 12

lim

x2 2x 6

4 4 6

14

.

x4 5x 6

4x 3

8 8 8

3

27

x 2

x 2 x3 2x2

4.

lim

x y

. Будем приближаться к началу координат по прямым

y 0 x 2 y

x 0

y kx ,

тогда

lim

x y

lim

x kx

lim

x 1 k

1 k

A. Имеем при

1 2k

y 0 x 2 y

y 0 x 2kx

y 0

x

x 0

x 0

x 0

k 0 A 1; при k 1 A 0 ; при k 2 A 15 и т.д. Отсюда следует, что пре-

дел этой функции не существует.

b) Если дробь является иррациональным выражением, в некоторых случаях, чтобы раскрыть данную неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному или применить подстановку.

Примеры.

1. lim

14 2x

2

0

. Умножим числитель и знаменатель на выраже-

x 5

0

ние

x 5

14 2x 2 – сопряженное числителю

14 2x 2 .

lim

14 2x 2

14 2x 2

lim

14 2x 4

x 5 14 2x 2

5

14 2x 2

x 5

x 5 x

lim

2(x 5)

lim

2

2

2

1

,

таким

обра-

x 5

14 2x 2

x 5

x 5

14 2x 2

4 2

4 2

зом

lim

14 2x 2

1 .

x 5

x 5

2

2.

lim

3 x 2 2

0

3 x 2

t

.

Выполним

подстановку

x

6

0

x 6

x 2 t3 , x t3

2

при x 2, t 0

t 2

t 2 0

t 2

1

1

lim

lim

lim

lim

.

t

3

2

6

3

0

2

2t 4

2

2t

4

12

t 0

t 2 t

8

t 2 t 2 t

t 2 t

3

x 2 2

1

Таким образом, lim

.

x 6

12

x 6

2.4.2. Признаки существования пределов

176

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция y sin x при x предела не имеет. Во многих вопросах анализа

бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В

таких случаях пользуются признаками существования пределов.

Теорема 5. (О пределе промежуточной функции)

Если функция f x заключена между двумя функциями x и g x ,

стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому
пределу, т.е. если lim x A, lim						g x A и x f x g x , то
				x x0	x x0	f x A.
					lim
	Доказательство:				x x0
					lim g x A , то для любого 0 существуют
	Так как			lim x A и
				x x0	x x0
две окрестности 1 и 2 точки x0 ,						для всех точек которых соответственно
выполняются				неравенства			x A		x A	и
	g x A		g x A .							x0
	Пусть –меньшее из чисел 1					и 2 . Тогда в –окрестности точки
выполняются оба неравенства.
	По условию x f x				g x , тогда x A f x A g x A.

Получаем f x A или

f x A

. Это значит, что 0 0

x :

x x0

f x A

, т.е.

lim f x A. Ч. и т. д.

x x0

Теорема 6. (О пределе монотонной функции)

Если функция f x монотонна и ограничена при x x0

или при x x0 ,

то существует соответственно её левый предел lim f x

или её правый

x x0 0

предел lim f x .

x x0 0

Теорема 7. (Вейерштрасса)

Ограниченная монотонная последовательность xn , n N , имеет пре-

дел.

Заметим, что теорему 7 можно считать следствием теоремы 6.

177

ЛЕКЦИЯ 2.5. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ТЕОРЕМЫ О НИХ

2.5.1. Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел вида

lim sin x 1 (2.5.1)

x 0 x

Доказательство:

Для доказательства формулы (2.5.1) рассмотрим круг радиуса R с центром в точке O 0;0 .

Пусть OB – радиус вектор точки B , лежащей на окружности радиуса k

		C	с центром в точке O , образующий угол
y				x
			x 0		2	с осью OX , дуга AB чис-
B	x
R			ленно равна центральному углу x (см.
x			рис.2.5.1).
			x	На рис.2.5.1 видно, что площадь
0		A
			треугольника AOB меньше площади сек-
			тора	AOB , которая в свою очередь
			меньше площади прямоугольного тре-
рис. 3.5.1			угольника AOC , т. е.
				S AOB Sсект.AOB S AOC .

Так как S AOB 12 AO OB sin x 12 R2tgx , то имеем

12 R2 sin x 12 R2 x 12 R2tgx .

Разделим все части полученного двойного неравенства на 12 R2 sin x 0,

получаем 1 sinx x cos1 x или cos x sinx x 1.

Так как функции cos x и sinx x четные (см. п.2.2.4), то полученные не-

равенства справедливы и при		x 0	. lim cos x 1 и	lim1 1.
	2		x 0	x 0

Тогда по признаку (о пределе промежуточной функции) существования

предела (см. теорему 5 п.2.4.2) lim sin x 1. Ч. и т. д.

x 0 x

																												178
Примеры.
1.		lim sin 6x												1 lim 6sin 6x														6 lim sin 6x								3 1				3
		x 0					4x								4 x 0			6x										4 x 0			6x					2			2	2
						1 cos						x					2sin			2				x									2sin				x
2. lim												5			lim							10						2 lim								10
									x2										x2															x
		x 0														x 0													x 0
						x			2												x					2
	sin													2			sin												1					1
2 lim			10													lim				10											1				.
x 0		10				x						100 x 0							x									50						50
																		10
				10

2.5.2. Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел вида

lim 1 1 x 1 e x x

или

lim	1 x 1x	1		e
x 0

(2.5.2)

(2.5.3)

Доказательство:

Для доказательства формулы (2.5.2) рассмотрим прежде предел число-

вой последовательности x		1		1 n	, n N при n .
n
				n

Докажем, что эта последовательность удовлетворяет теореме Вейерштрасса (см. теорема 7 п. 2.2.4), т.е. имеет предел и он равен e , иначе говоря

		1 n	e.	(2.5.4)
lim 1
n		n

Докажем, что	последовательность x		1		1 n	возрастающая, а
	n
					n

значит монотонная, и что она ограничена.

По формуле бинома Ньютона

n

n

n

n

n 2

...(n

a b

an

an 1b

n 1

an 2b2

...

n 1

n 1 )

bn .

1!

2!

n!

Полагая a 1, b

1 , получим

n