Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

ции.

209

ЛЕКЦИЯ 2.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.9.1. Производная неявно заданной функции

Если	неявная функция	одной переменной задана уравнением
F x; y 0	1 , а функция двух	переменных – F x; y; z 0 2 , то для нахо-

ждения производной функции одной переменной yx и частных производных функции двух переменных zx и z y нет необходимости разрешать уравнения относительно функций y и z .

Рассмотрим два способа дифференцирования неявно заданной функ-

Способ 1. Продифференцировать уравнение 1 по x , считая y функцией от x , а уравнение 2 отдельно по x и по y , считая z функцией от x и y . Затем полученные выражения разрешить относительно yx (в случае функции одной переменной) и относительно zx , zy (в случае функции двух

переменных).

Замечание. Производная неявно заданной функции является неявно заданной функцией.

Пример. Найти производные неявно заданных функций.

1. x2 y2 xy 0 – неявно заданная функция одной переменной.

y

x y

y

y

y

x2

y2

0

2x 2 yyx

x

0 2x 2 yyx

x

0 .

x2

x

x2

x

x

Выразим yx :

2x3 y

2x3 y

2 yyx

yx

2x

y

yx

2 yx 1

yx

x

x

x2

x

x2

x2

2 yx 1

yx

2x3 y

.

2 yx2

x

2. e z z - x2 y 1 0 – неявно заданная функция двух переменных. Найдем частные производные zx и z y . Для этого:

– продифференцируем уравнение по x : ez zx zx 2xy 0 , выразим zx :

	ez zx zx 2xy zx ez 1 2xy zx	2xy		;
		ez 1

210

– продифференцируем уравнение по y : ez zy zy x2 0 , выразим z y :

ez z y z y x2 z y ez 1 x2 z y								x2		.
								ez 1
				x2
Таким образом, zx	2xy		и z y				.
	ez 1			ez	1
Способ 2.
Пусть дана неявно заданная функция одной переменной.
1) Подставим в уравнение 1					функцию y y x : F x; y x 0 . Про-

дифференцируем полученное уравнение по независимой переменной x как сложную функцию двух переменных, используя формулу (2.8.5) (см. п.2.8.2).

F		F dy	0 , тогда	F	dy		F	,
x		y dx		y	dx		x

Таким образом, yx Fx .

Fy

F dydx Fx .

y

2) Пусть дана неявно заданная функция двух переменных. Продифференцируем F x; y; z x; y 0 по x и по y как сложную

функцию, используя формулу (2.8.5) (см. п. 2.8.2).

F

F

z

z

F

F

F

z

z

F

0

x

,

0

y

.

x

z

x

x

F

y

z

y

y

F

z

Fy

z

F

Таким образом, zx

x

,

zy

.

Fz

Fz

Примеры. Найти производные неявно заданных функций. 1. y3 3y 4x – неявно заданная функция одной переменой.

y3 3y 4x 0 ,

здесь F x; y y3

3y 4x .

Fx 4 , Fy 3y

2 3 yx

Fx

4

yx

4

.

3y2 3

3y2 3

Fy

2. z3 3xyz a3 – неявно заданная функция двух переменных.

z3 3xyz a3 0, здесь F x; y; z z3

3xyz a3 .

Fx 3yz , Fy 3xz , Fz 3z 2 3xy .

Fy

F

3yz

yz

3xz

xz

Тогда zx

x

, zy

,

3z2 3xy

z2

xy

Fz

3z2

3xy

z2

xy

Fz

					211
	т.е. zx	yz	, zy	xz	.
		z2 xy		z2 xy

Оба рассмотренных способа применяются и для вычисления частных производных неявно заданной функции n независимых переменных вида

F x1; x2;K ; xk ;K ; xn;u 0 (3), где u f x1; x2;K ; xk ;K ; xn .

Чтобы найти u – частную производную такой функции по перемен-

xk

ной xk , необходимо продифференцировать уравнение (3) по xk , считая u функцией от переменных x1; x2;K ; xk ;K ; xn (способ 1), или воспользоваться

		u	ux		Fx
	формулой				k	(способ 2).
		xk			Fu
			k

2.9.2. Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию одной переменной, заданную параметрически

y y t ,

x x t .

Предполагая, что x x t имеет однозначную обратную функцию t t x , продифференцируем y y t по x , как сложную функцию, считая t

промежуточным аргументом:

yx y t x

,

yx yt tx tx

yx

.

x

yt

Так как t t x – обратная функция для функции x x t , то tx

Тогда

1

yx

yx

yt

.

xt

yt

x t

y t arctgt,

Пример. Найти y , если

t2 .

x

x ln 1

Решение:

1 t2 1

t2

1

yt t arctgt

1

,

t

1

t2

1 t2

1

t2

xt ln 1 t

2 t

1

1 t 2 t

2t

1 t 2

1 t 2

yx

yt

t 2

:

2t

t 2

1 t 2

t

.

xt

1

t 2

1

t 2

1

t 2

2t

2

1 . xt

212

Ответ: yx 2t .

2.9.3. Логарифмическое дифференцирование

Производную функции одной переменной, а также частные производные функции двух и нескольких переменных в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют

логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции y uv , где u u x , v v x (u u x; y , v v x; y для функции двух независимых переменных)

и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти или вычисление производной очень громоздко.

Примеры.

1. Найти yx , если y sin3x 2x2 1 .

Решение: Прологарифмируем функцию: ln y ln sin3x 2x2 1 .

По свойству логарифма loga b loga b : ln y 2x2 1 ln sin3x – неяв-

но заданная функция. Найдем производную полученной функции, используя способ 1 п.2.9.1.

1y yx 4x ln sin3x 2x2 1 sin31 x 3cos3x yx y 4x ln sin3x 3 2x2 1 ctg3x .

Так как y sin 3x 2x2 1 , то yx sin3x 2x2 1 4xln sin3x 3 2x2 1 ctg3x . Ответ: yx sin3x 2x2 -1 4xln sin3x 3 2x2 1 ctg3x .

2. Найти zx , z y , если z x 2 y xy .

Решение: Прологарифмируем функцию: ln z ln x 2 y xy

По свойству логарифма: ln z x y ln x 2y – неявно заданная функция. Найдем zx , z y , используя способ 1 п.2.9.1.

	1 zx y ln x 2y xy	1	,	1 z y x ln x 2y xy	2	.
		x 2 y			x 2 y
	z			z

						213
				xy				2xy
	Тогда	z	z y ln x 2 y			, z	z x ln x 2 y
		x				y		x 2 y
				x 2y

		xy		xy
Ответ: z	x 2 y		y ln x 2 y			,
x
				x 2 y

			2xy
	z	x 2 y xy xln x 2 y		.
	y
			x 2 y

3. Найти yx , если	y	x2	2 4 x 1 3ex	.
			x 5 2

.

Решение: Прологарифмируем функцию:

ln y ln x2 2 34 ln x 1 x 2ln x 5 – неявно заданная функция одной переменной. Найдем yx , используя способ 1 п.2.9.1.

1						1			3		1			1								2x		3				2
							2x						1 2						y							1				.
		y			x2												y							4 x 1
	y		x			2		x2	4		x-1			x	5			x		x2 2								x 5
Ответ: yx									2 4 x 1 3ex									2x				3		1		2
																											.
										x 5 2									2			4 x	1		x	5
																	x2

214

ЛЕКЦИЯ 2.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.10.1. Понятие дифференциала функции одной переменной и его геометрический смысл

	Пусть		функция	y f x	имеет в	точке	x	производную
lim	y	f
	x		x 0.
x 0				y
							при x 0 или
	Тогда по теореме 7 п.2.3.3 x f x , где 0
y
	f	x x x .
	Таким образом, приращение функции y					представляет собой сумму
двух	слагаемых f x x			и x ,	являющихся	бесконечно		малыми при

x 0 . При этом первое слагаемое – бесконечно малая функция одного по-

f

рядка с x , так как lim

x x

x

f x 0 , а второе слагаемое – бесконечно

x 0

x ,

так как

малая

функция

более

высокого

порядка,

чем

lim

x

lim 0. Поэтому первое слагаемое f

называют главной

x

x x

x 0

x 0

частью приращения функции y , линейной относительно x .

Определение. Главная часть приращения функции y f x называется

дифференциалом этой функции в точке x . Обозначается dy или

d f x .

dy f

(2.10.1)

x x

Так как x 1, то по формуле (2.10.1) dx x .

Таким образом, дифференциал функции равен произведению произ-

водной этой функции на дифференциал независимой переменной

dy f

dx .

(2.10.2)

x

Следовательно f

dy

x dx .

Пример. Найти дифференциал функции f x 7x3 cos 4 17x .

Решение:

По

формуле

(2.10.2)

dy 7x3 cos 4 17x dx

dy 21x2 17sin 4 17x dx .

Ответ: dy 21x2 17sin 4 17x dx .

Выясним геометрический смысл дифференциала.

215

Для этого проведем к графику функции y f x касательную MT . Приращение ординаты точки M , как точки графика функции, y AM1 (см.

рис. 2.10.1).

y		M1
y+∆y
	∆y
		B	dy
y	M	α
		A
		∆x
	x	x+∆x	x

рис. 2.10.1

Рассмотрим AB – приращение ординаты точки M как точки касатель-

ной.

В прямоугольном треугольнике MAB

AB

tg

MA

(как катет,

про-

тиволежащий углу ). Так как tg f

x ,

MA

x , то

AB

x .

f x

Сравнивая

полученный

результат

с

формулой

(2.10.1),

получаем

dy

AB

,

т.е. с геометрической точки зрения дифференциал функции

y f

x

в точке x равен приращению ординаты точки касания,

как точ-

ки касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

y

Замечание.

Если

график

функции

y=f(x) dy

y f x

вогнутый,

то дифференциал будет

y+∆y

меньше приращения функции, dy y

(см.

y

∆y

рис. 2.10.1). Если график функции

y f x

выпуклый, то дифференциал будет больше

приращения

функции,

dy y (см.

рис.

0

x

∆x x

2.10.2).

рис. 2.10.2

2.10.2. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z f x; y , определенную в некоторой окрестности точки M x; y .

Полное приращение в этой точке z f x x ;y y f x;y .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке

M x; y , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

	216
	z A x B y x; y x x; y y ,	(2.10.3)
где x; y 0	и x; y 0 при x 0 , y 0 .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2.10.3) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно x и y .

Определение. Главная часть приращения функции z f x; y , линей-

ная относительно x	и y , называется полным дифференциалом функции
и обозначается dz ,	dz A x B y .	(2.10.4)
Выражения A x и B y называют частными дифференциалами.
Для независимых переменных x и y полагаем x dx и y dy . тогда
	dz Adx Bdy	(2.10.5)

Теорема 1. ( Необходимое условие дифференцируемости функции)

Если функция z f x; y дифференцируема в точке M x; y , то она не-

прерывна в этой точке, имеет в ней частные производные xz и yz , причем

z A, z B .

x y

Доказательство:

Так как функция дифференцируема в точке M , то имеет место равен-

ство (2.10.3). Отсюда вытекает, что lim z 0 . Это означает, что функция

x 0y 0

непрерывна в точке M . Положив y 0 , x 0 в равенстве (2.10.3), имеем:zx A x x . Разделим полученное равенство на x и перейдем к пределу при x 0 . Получим:

	z	x		A x			x
lim			lim				x	A ( 0 при	x 0) .
x 0	x		x 0	x
Следовательно,	z	A. Таким образом, в точке M существует частная про-
	x
изводная zx x; y A.
Аналогично доказывается, что в точке M существует частная произ-
водная z y x; y z			B . Что и требовалось доказать.
	y

Равенство (2.10.3) можно записать в виде
z	z	x	z	y ,	(2.10.6)
	x		y

где x y 0 при x 0 , y 0 .

217

Замечание. Утверждение обратное теореме 1 не всегда верно, т.е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Как следствие теоремы 1 получаем формулу для вычисления полно-

го дифференциала.
	Формула (2.10.4) принимает вид:
	dz z dx	z dy ,	(2.10.7)
	x	y
	или
	dz zx dx z y dy ,		f x; y .
где zx dx , z y dy – частные дифференциалы функции z
	Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости функции)
	Если функция z f x; y имеет непрерывные частные производные zx
и z y	в точке M x; y , то она дифференцируема в этой точке и её полный

дифференциал выражается формулой (2.10.7).

Замечание. Для функции y f x одной переменной существование производной f x в точке является необходимым и достаточным условием

её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z f x; y была дифференцируема в точке, необходи-

мо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Аналогично для функции n переменных.

Если функция u f x1, x2,K , xn дифференцируема в точке М то ее пол-

ное приращение можно представить в форме двух слагаемых – главной части приращения и бесконечно малой величины

	u	u	x		u	x	K		u	x .
		x			x				x
			1			2				n
	1			2					n
Определение. Дифференциалом								du	дифференцируемой в точке
M x1; x2;K ; xn	функции u f x1, x2,K , xn							называется главная линейная от-

носительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке

М:

	du	u	dx		u	dx	K	u	dx	, где dx	x
		x			x			x
			1			2			n	k	k
		1			2			n

2.10.3. Основные теоремы о дифференциалах. Инвариантность формы

218

Теорема 3. Если функция равна постоянной y C , то её дифференциал равен нулю, т.е. d C C x 0 .

Теорема 4. Дифференциал линейной функции y x равен прираще-

нию этой функции, т.е. dx x .

Теорема 5. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются формулами:

d u x x d u x d x , d u x x x du u x d ,

		u x			x du u x d
	d					.
		x			x 2

Арифметические свойства и правила нахождения дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух и большего числа переменных.

Теорема 6. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Доказательство: Пусть y f u и u u x две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию y f u x . По теореме о производной сложной функции (см. п.2.8.2): yx yu ux .

Умножим обе части этого равенства на dx , тогда: yx dx yu ux dx , но

yx dx dy и ux dx du . Следовательно dy yu du . Ч и т. д

Таким образом, дифференциал функции y f x определяется одной и

той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента. Это свойство диффе-

ренциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Аналогично можно доказать, что полный дифференциал функции двух

(многих) переменных	обладает свойством				инвариантности,		т.е.	если
z f u; , где u u x; y , x; y и dz		f	dx f dy , тогда
	dz f du	x			y
		f		d .
	u
2.10.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как известно, приращение y функции					y f x	в точке	x0	можно
представить в виде	y f x0 x x ,	где			0	при x 0 , или