Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

129

2		2		2		2	3			2				х2				у2		10
2x	+ 3y	=10			x	+			y	=1									1 а = 5, в =	3 .
				10				10						5				10
												2			у2			3
Построим эллиптический цилиндр											х						1(рис.1.11.1).
											5			10
														3

z

	0	10
		3
5
		y

x

Рис. 1.11.1

2. Определить тип и расположение поверхности второго порядка, если ее

уравнение имеет вид

6y2 + 6z2 – 5x + 12y – 36z + 135 = 0.

Решение

Сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные, и дополним их до полных квадратов (метод выделения полного квадрата описан в предыдущем параграфе):

-5x + 6(y2 + 2y) + 6(z2 – 6z) + 135 = -5x + 6(y + 1)2 + 6(z – 3)2 - 75.

Врезультате, получается следующее уравнение

6(y + 1)2 + 6(z – 3)2 = 5(x – 15),

( у 1)2 (z 3) 2 1 (x–15), 5 5 2

6 6

130

которое описывает параболоид вращения, вершина которого находится в точке C(15;–1;3), а его ось направлена вдоль оси Ox, причем «ветви» параболоида направлены в положительном направлении оси Ox, а в сечении плоскостью параллельной координатной плоскости yОz получаем окружность ра-

диусом R = 56 (рис. 1.11.2).

z

3

1

0

y

C(15; 1;3)

15

x

Рис. 1.11.2

3. Написать уравнение эллипсоида с вершинами в точках A(0; 0; 6) и B(0;0;2), зная, что плоскость xOy пересекает его по окружности радиуса R = 3.

Решение

Поскольку в сечении эллипсоида есть окружность, то эллипсоид будет иметь ось вращения, совпадающей с осью Oz. Следовательно, a = b = R = 3. Центр эллипсоида будет находится на оси Oz, причем он будет делить отрезок AB пополам. Тогда центр эллипсоида будет находится в точке C(0; 0; 2), а полуось c = |AC| = 4. Таким образом, уравнение эллипсоида имеет вид

x2		y2		(z 2)2	1.
9				16
	9

1.11.8. Применение аналитической геометрии к решению прикладных задач

Задачи

1. Из точки M(3; 2) выходит луч света под углом = arctg2 к оси Ox. Найти уравнения падающего и отраженного лучей (рис. 1.11.3).

131

y

L2		L1
0	K	y

Рис. 1.11.3

Решение

Найдем уравнение падающего луча. Эта прямая L1 проходит через точку M(3; 2) с угловым коэффициентом

k1 = tg = 2.

Тогда, используя запись уравнения прямой проходящей через точку с соответствующим угловым коэффициентом y – y0 =k(x – x0) , получим

y–2 = 2(x–3),

или

L1: 2x–y–4=0.

Это есть уравнение падающего луча. Теперь чтобы составить уравнение отраженного луча L2, нужно знать координаты точки отражения K и угловой коэффициент k2. Координаты точки отражения K можно найти как точку пересечения прямой L1 и оси Ox:

2x y 4 0,		x 2,
y 0,		y 0.

То есть K(2; 0). Угловой коэффициент k2 найдем из того условия, что «угол падения равен углу отражения». Тогда очевидно, что

2 = 180o – .

Отсюда

k2 = tg 2 = tg(180o– = – tg = –2.

Теперь известны все параметры, чтобы записать уравнение отраженного луча:

y = –2(x–2),

или

L2: 2x + y – 4 = 0.

2. Для условий Кузнецкого бассейна получена линейная зависимость угла полных сдвижений горного массива у нижней границы выработки от угла падения пласта (рис.1.11.4). Написать уравнение зависимости, если при угле

падения 1 14o угол полного сдвижения у нижней границы выработки

132

1 46,5o, при 2 30o, 2 42,5o. Определить угол полного сдвижения , если угол падения пласта равен = 34o.

O

Рис. 1.11.4

Решение

Для построения линейной зависимости, т.е. составления уравнения прямой проходящей через две точки, необходимо знать координаты двух то-

чек, через которые проходит прямая. По условию задачи точка M1(14o; 46,5o) и точка M2 (30o; 42,5o) . Используя формулу записи уравнения прямой прохо-

дящей через две точки

y y1

x x1

(заменяя

y , x ) получим

y

2

y

x

x

46,5o

14o

1

2

1

, где ,

координаты текущей точки прямой.

o

o

o

14

o

42,5

46,5

30

После

преобразования

получаем

линейную

зависимость:

50o 0,25 .

Если

34o,

то

угол

полного

сдвижения

50o 0,25 34o

41,5o.

133

Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 1

1.	Какие виды матриц вы знаете?
	5	0	0
2.	Какого вида следующая матрица А = 0	5	0	?
	0	0	5

3.Матрицы каких размерностей можно складывать и вычитать?

4.При каком условии можно осуществлять операцию умножения мат-

риц?

5.Какие матрицы называются перестановочными?

6.Какие матрицы можно возводить в степень?

7.Любые ли матрицы можно транспонировать?

8.Какие числовые характеристики матриц вы можете назвать?

9.Приведите формулу вычисления определителя второго порядка.

10.Запишите правило Саррюса вычисления определителя третьего по-

рядка.

11.Справедливо ли свойство: det(А В) det А det В?

12.Для какой матрицы существует обратная?

13.Когда обратима диагональная матрица и как выглядит обратная к

ней?

14.Дать определение ранга матрицы и для каких матриц он вводится?

15.Какие методы вычисления ранга матрицы вы знаете, опишите их алгоритмы?

16.Какая теорема используется при исследование систем линейных уравнений на совместность?

17.В каком случае неоднородная система является совместной?

18.Может ли быть несовместной однородная система?

19.Возможно ли путем добавления уравнений в систему превратить: а) совместную систему в несовместную; б) несовместную систему в совместную?

20.Какие основные методы решения систем линейных уравнений вы знаете? Какой из этих методов является более универсальным и почему?

Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 2

1.Сформулировать определение вектора? Что такое модуль вектора?

2.Как определяется равенство векторов?

3.Какие операции над векторами называются линейными? Как определяются эти операции и каковы их свойства?

4.Что называется базисом на плоскости (в пространстве)?

134

5.Какие векторы называются линейно зависимыми и какие линейно независимыми?

6.Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного

вектора?

7.Может ли быть линейно независимой система векторов, содержащая нулевой вектор?

8.Что называется координатами вектора в некотором базисе?

9.Как связаны координаты вектора с координатами точек, являющихся его началом и концом?

10.Как выражается модуль вектора через его координаты?

11.Что называется направляющими косинусами вектора?

12.Может ли вектор образовывать углы по 45 с каждой из осей прямоугольной декартовой системы координат в пространстве?

13.Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов – сомножителей в ортонормированном базисе?

14.Каков геометрический смысл скалярного произведения?

15.Сформулировать условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

16.Каков механический смысл скалярного произведения?

17.Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов – сомножителей в ортонормированном базисе?

18.Каков геометрический смысл векторного произведения?

19.Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов – сомножителей в ортонормированном базисе?

20.Каков геометрический смысл смешанного произведения трех век-

торов?

Контрольные вопросы и задания для самопроверки к главе 3

1.Дайте определение линии на плоскости.

2.Каково характерное отличие уравнения прямой на плоскости от уравнений других линий на плоскости?

3.В каком случае в решении задачи удобнее использовать:

а) общее уравнение прямой; б) уравнение прямой, проходящей через две данные точки; в) каноническое уравнение;

г) уравнение с угловым коэффициентом; д) уравнением прямой в «отрезках»; е) нормальное уравнение.

135

Укажите геометрический смысл входящих в уравнение коэффициентов.

4.Как найти угол между прямыми на плоскости, заданными общим уравнений, уравнением с угловым коэффициентом, каноническим уравнением?

5.Запишите условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

6.Запишите общее уравнение плоскости. Укажите геометрический смысл его коэффициентов.

7.Запишите уравнение плоскости проходящей через три точки.

8.Какое уравнение плоскости наиболее удобно использовать для ее построения?

9.Запишите условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Укажите способ нахождения угла между плоскостями.

10.Укажите особенности в расположения следующих плоскостей:

а) x + y + z – 1 = 0;

б) 2x + y + 7 = 0; в) x = 5; г) z = 0; д) y - 7z + 2 = 0; е) 4x + 2z = 0;

ж) 7x + 3y + 2z = 0; з) y - 8 = 0.

11.Укажите способы задания прямой в пространстве.

12.Укажите способ отыскания угла между прямой и плоскости.

13.Написать уравнение оси Oy в пространстве.

14.Каково общее уравнение кривой второго порядка.

15.Дайте определение окружности, эллипса, гиперболы, параболы, как геометрического места точек.

16.Сформулируйте алгоритм выделения полного квадрата в квадратном трехчлене. В каком классе задач данный алгоритм целесообразно использовать в теме «Кривые второго порядка.

17.Запишите канонические уравнения сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров, конуса.

18.Каковы характерные особенности уравнений цилиндрической поверхности?

19.В чем суть метода сечений?

20.Назовите поверхности второго порядка, которые:

а) имеют один центр симметрии; б) не имеют центра симметрии;

в) имеют бесчисленное множество центров симметрии.

136
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...........	138

ЛЕКЦИЯ 2.1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА.

МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ...................................

138

2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение

множеств.....................................................................................................	138
2.1.2. Множество действительных чисел.............................................	142

ЛЕКЦИЯ 2.2. ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И

ГРАФИКИ.....................................................................................................	145
2.2.1. Переменная величина....................................................................	145
2.2.2. Функция одной и нескольких переменных...............................	145
2.2.3. Способы задания функции...........................................................	148
2.2.4. Основные свойства функции.......................................................	150

2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции,

их свойства и графики.............................................................................

154

ЛЕКЦИЯ 2.3. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

......................................................................................................................... 160

2.3.1.	Предел переменной величины. ....................................................	160
2.3.2.	Предел функции..............................................................................	161

2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства

...................................................................................................................... 165

ЛЕКЦИЯ 2.4. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.

ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ...................................	171
2.4.1. Теоремы о пределах........................................................................	171
2.4.2. Признаки существования пределов............................................	175

ЛЕКЦИЯ 2.5. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ

И ТЕОРЕМЫ О НИХ .................................................................................	177
2.5.1. Первый замечательный предел...................................................	177
2.5.2. Второй замечательный предел....................................................	178

2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные

бесконечно малые и теоремы о них......................................................

182

ЛЕКЦИЯ 2.6. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ. ТОЧКИ РАЗРЫВА .....................................................	187
2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных....................	187
2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных..............	189

	137
2.6.3. Точки разрыва	................................................................................ 190

138

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 2.1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Это первичное понятие, которое не может быть определено через другие, более элементарные понятия.

Под множеством понимают совокупность (собрание, семейство, класс, …) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, которые образуют множество, называются его элементами или

точками этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов группы, множество предприятий некоторой отрасли, множество букв алфавита и т. д.

Математические множества могут состоять из чисел, векторов, матриц, функций и других объектов.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B,C,..., X ,Y ,..., а их элементы – малыми буквами a,b,..., x, y,....

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x X ; запись x X или x X означает, что элемент x не принадлежит множе-

ству X . Например, если N – множество натуральных чисел, то 1 N ,

0 N .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и

обозначается символом .

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет. Такие свойства называют

характеристическими свойствами. Например, говоря о множестве всех четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два.

При задании множества элементы записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно).

Примеры.
1. Запись	A 1,3,15 означает, что множество A состоит из трех чи-
сел 1, 3 и 15 .	A x : 0 x 2 означает, что множество A состоит из всех
2. Запись

действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 0 x 2.