Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

109

уравнения прямой). Однако мы поступим по-другому, представив уравнение прямой в параметрической форме:

	x 4		y			z 4	x 4 2t,
							t y t,
	2		1			2
							z 4 2t.

Подставим выражения для x, y и z в уравнение плоскости и найдем, после этого, параметр t:

2x + y – z – 4 = 0 2(4 + 2t) + (–t) – (4 + 2t) – 4 = 0 t=0.

Вычислив значение параметра t, найдем значения

x 4,y 0,

z 4,

которые являются координатами точки M пересечения прямой L и плоскости

P: L I P = M(4; 0; 4).

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

L1:

x 2

y 2

z

и L2:

x 1

y 1

z 1

,

3

3

2

1

2

1

а также расстояние между ними (рис. 1.9.6).

M1

L2

s1

L1

s2

M2

Рис. 1.9.6

Решение. Найдем нормальный вектор искомой прямой:

n

=

s

M1M2

P.

Так как

=

=

= (3; 2; 1), M1(2; –2; 0), M2(1; 1; 1),

= (–1; 3; 1),

s

s1

s2

M1M2

то

i

j

k

3

2

1

4

11

.

n

s

M1M2

i

j

k

1

3

1

Поскольку M1 L, то уравнение искомой прямой будет иметь вид:

P: –1(x – 2) – 4(y + 2) + 11z = 0 P: –x – 4y + 11z – 6 = 0.

Найдем расстояние между параллельными прямыми. Для этого учтем, что векторы s и M1M2 образуют параллелограмм, площадь которого, с од-

ной стороны, равна s M1M2 , а, с другой, равна произведению высоты на

110

основание, т.е. d | s |, где d – расстояние между прямыми. Отсюда получаем формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

d s M1M2 . s

В частности, при условиях, данных в задаче, получим

	d	|		i		4		j		11		k	|		1 16 121	3,14.
		| i 2 j 3k |													1 4 9

Отметим, что аналогичным образом можно найти формулу для нахож-

дения расстояния между скрещивающимися прямыми:

d s1 s2 M1M2 . s1 s2

	Замечание. Пусть заданы прямая	x x0		y y0		z z0	своим кано-
		l		m		n

ническим уравнением и плоскость Ax + By + Cz + D = 0 своим общим уравне-

нием, то есть известны направляющий вектор прямо s = (l; m; n), координаты точки М0(x0; y0; z0), лежащей на прямой, и нормальный вектор плоскости

n =(A; B; С). Обобщая подход к решению первой задачи на прямую и плос-

кость под углом между прямой и плоскостью будем понимать острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис.1.9.5). Этот угол вычисляется, как мы видели выше, по формуле (1.9.9). Распишем данную формулу покоординатно:

sin

s

n

=

A l B m C n

.

A2

B2 C2 l2 m

2 n2

s

n

Если прямая параллельна плоскости, то нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен направляющему вектору прямой, то есть

n s n s 0 A l B m C n 0 – это условием параллельности пря-

мой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости параллелен направляющему вектору прямой, то есть n Ps Al mB Cn

– это условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая принадлежит плоскости, то должны выполняться два условия: 1) точка М0 принадлежит плоскости, то есть Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; 2) условие параллельности прямой и плоскости.

111

ЛЕКЦИЯ 1.10. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ОКРУЖНОСТЬ, ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА. ОБЩЕЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ УРАВНЕНИЙ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

1.10.1 Общее задание кривых второго порядка и приведение их уравнений к каноническому виду

Линия – геометрическое понятие, точное и достаточно общее, определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах математики различно. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется уравнением:

F(x,y) = 0.

Определение 1. Если в декартовой системе координат F(x,y) – многочлен какой-либо степени, то линия называется алгебраической, а степень многочлена – порядком линии. В противном случае, линия называется

трансцендентной (например, sinx, lnx и др.).

С алгебраической точки зрения наиболее простыми после линий 1-го порядка (прямых) являются линии 2-го порядка, которые в декартовой системе координат в общем виде описываются многочленом второго порядка:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

(1.10.1)

В общем случае может оказаться, что данное уравнение определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых). Например, уравнение x2+y2+4 = 0 вообще не имеет решений и, поэтому определяет пустое множество (или пару мнимых прямых, если использовать комплексные числа).

Мы будем рассматривать в данном параграфе общее уравнение второго порядка специального вида:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A 0, C 0 одновременно). (1.10.2)

Здесь нет смешанного произведения xy (от него в уравнении (1.10.1) можно избавиться поворотом около начала осей координат на угол , опре-

	деляемый из уравнения tg =	2B	). Этот вид не удобен для построения
		A C

кривых второго порядка и определения их характеристик в декартовой системе координат. Поэтому целесообразно привести данное уравнение к каноническому виду при помощи параллельного переноса координат. Аналитиче-

ски это эквивалентно методу выделения полного квадрата в выражении

(1.10.2):

Ax2+Cy2+Dx+Ey+F = 0;(

Ax2+Dx)+(Cy2+Ey) = -F; A(x2+ DA x )+C(y2+ CE y ) = -F;

112

2

D

D 2

D 2

2

E

E 2

E 2

A[x

+ 2

x +

-

]+C[y + 2

y +

-

] = -F;

2A

2C

2A

2A

2C

2C

A(x+

D

)2 -

D2

+C(y+

E

)2 -

E2

= -F;

2A

4A

2C

4C

A(x+

D

)2 +C(y+

E

)2 = D2

+

E2

-F;

2C

4C

2A

D2

E2

4A

Примем обозначение P =

+

-F , тогда

4A

4C

E

(x

D

)

2

( y

)

2

2A

2C

1.

P

P

A

C

Введем канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, па-

раболы, то есть такие уравнения, которые получаются при специальном выборе системы координат. Если кривая не вырождена, то, для нее, найдется такая декартова система координат, в которой уравнение примет один из трех следующих видов:

x2			y2		1,
a2			b2
x2			y2		1,
a2			b2

y2 2 px или x2 2ay

Это есть канонические уравнения, соответственно, эллипса (окружно-

сти), гиперболы и параболы.

Кривую линию, вообще говоря, можно определить как некоторое геометрическое место точек – это такое множество точек на плоскости, которые удовлетворяют определенному геометрическому свойству. Это свойство присуще всем точкам кривой и только им одним и отличает их от всех остальных точек плоскости.

1.10.2. Окружность

Наиболее простой линией второго порядка является окружность, каждая точка которой равноудалена от некоторой точки, называемой центром. Чтобы задать окружность, нужно знать координаты ее цента О’(x0,y0) и ее радиус R. Тогда уравнение окружности, как мы видели в параграфе 1.8.1 дан-

ной главы, можно записать в следующем виде:
(x–x0)2 + (y–y0)2 = R2.	(1.10.3)

113

Это есть каноническое уравнение окружности со смещенным цен-

тром.

Пример. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М(2; 1).

Решение. Так как окружность касается осей координат, она лежит в одной из координатных четвертей (рис. 1.10.1). Тогда обозначая радиус окруж-

ности буквой a в уравнении (1.10.3), получим

(x–a)2 + (y–a)2 = a2.

y

a

M

0

a

x

Рис. 1.10.1

Поскольку точка М лежит на окружности, то ее координаты должны удовлетворять данному уравнению:

(2–a)2 + (1–a)2 = a2 a2–6a+5=0 a1 1,

a2 5.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две окружности

(x-1)2 + (y–1)2 =1 и (x–5)2 + (y–5)2 = 25.

1.10.3. Эллипс

Определение 2. Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Эллипс, в прямоугольной декартовой системе координат, определяется каноническим уравнением

x2 y2 1 a2 b2

при условии a > b. При параллельном сдвиге системы координат это уравнение примет вид:

(x x )2		( y y )2	1	(1.10.4)
0		0
a2		b2

Параметры a и b называются большой и малой полуосями эллипса. Точка О’(x0,y0) – центром эллипса (1.10.4). Точки F1 и F2 – это фокусы эл-

липса, отстоящие от центра на расстояние c a2 b2 , называемое фокаль-

114

ным расстоянием. Число ac (0 < 1) называется эксцентриситетом

эллипса и является мерой его «сплюснутости». Чем ближе эксцентриситет к единице, тем более «сплюснут» или «вытянут» эллипс. При = 0 эллипс является окружностью.

Фокальное свойство эллипса: эллипс является геометрическим местом точек, сумма расстояний от каждой точки которой до фокусов есть величина постоянная и равная 2a.

Действительно, сделаем чертеж эллипса в декартовой системе коорди-

нат (рис. 1.10.2).

y

M (x, y) b

a		0			a	x
	F1			F2

b

Рис. 1.10.2

Найдем сумму расстояний от любой точки эллипса M(x; y) до ее фоку-

сов:

| MF | | MF | ( c x)2				( y)2 (c x)2	( y)2 .
	1	2
			2
Поскольку c2	= a2–b2	и y2 b2 ba2		x2 , то
| MF1 |	x2 2cx c2 y2		x2 2cx (c2 b2 )			b	2	x2
					b2
						a2

			b2		c		2
	1		a2	x2 2cx a2			x a	a x .
					a

Аналогично можно получить, что |MF2| = a – x. В результате имеем

|MF1| + |MF2| = (a + x) + (a – x) = 2a.

Пример. Вывести уравнение кривой, сумма расстояний, от каждой точки которой до двух точек A(–4; 0) и B(4; 0) есть величина постоянная и равная 10.

Решение. Обозначим через M(x; y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:

|AM| + |BM| = 10.

Распишем это уравнение:

115

(x 4)2 y2 (x 4)2 y2 10 .

Перепишем это уравнение следующим образом:

(x 4)2 y2 10 (x 4)2 y2

и возведем обе части в квадрат:

(x 4)2 y2 100 (x 4)2 y2 20

(x 4)2 y2 ,

после упрощений получим

16x 100 20

(x 4)2 y2 .

Сократив полученное уравнение на 4, возведем его еще раз в квадрат: (4x 25)2 25[(x 4)2 y2 ].

Раскроем скобки

16x2–200x+625 = 25x2–200x+400+25y2 9x2+25y2 = 225.

Отсюда получаем

x2 y2 1. 25 9

Это есть каноническое уравнение эллипса.

1.10.4. Гипербола

Определение 3. Гиперболой – множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Канонический вид уравнения гиперболы в прямоугольной декартовой системе координат записывается следующим образом

	x2		y2		1.				(1.10.5)
	a2		b2
При параллельном сдвиге системы координат это уравнение примет
вид:
	(x x )2						( y y )2
			0				0	1.	(1.10.6)
		a2
							b2

Параметры a и b называются действительной и мнимой полуосями

гиперболы. Точка О’(x0; y0) – центром гиперболы (1.10.6). Точки F1 и F2 –

это фокусы гиперболы, отстоящие от центра на расстояние c	a2 b2 , на-
зываемое фокальным расстоянием.

	116
y= b	Перепишем каноническое уравнение (1.10.5)	гиперболы		в	виде
	x2 a2 . При достаточно больших x выражение	x2 a2		x2	= x
a
уравнение гиперболы примет вид
	y b x ,			(1.10.7)
	a

то есть при ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым (1.10.7), называемым асимптотами гиперболы. Для уравнения (1.10.6), т.е. если центр гиперболы не совпадают началом координат, то уравнения асимптот имеют вид

y y0 ba (x x0 ) .

Также как и в случае эллипса, число ac называется эксцентриси-

тетом, только в случае гиперболы это число > 1. Если a = b, то гипербола

называется равносторонней. Для нее 2 , а угол между асимптотами будет прямым. Наряду с гиперболой, определяемой каноническим уравнением, можно также рассматривать гиперболу, определяемую уравнением

	x2		y2	1, или	x2		y2	1.
	a2		b2		a2		b2

Такая гипербола называется сопряженной к основной гиперболе. Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и основная, но ее фокусы и вершины расположены на оси Oy.

Фокальное свойство гиперболы: гипербола является геометрическим местом точек, абсолютная величина разности расстояний, от каждой точки которой до фокусов есть величина постоянная и равная 2a (рис. 1.10.3).

y

			M (x; y)
		b
a	0	a	x
F1		F2

b

Рис. 1.10.3

Доказательство этого свойства аналогично тому, как это было сделано в случае эллипса. Если M(x,y) – произвольная точка гиперболы в канонической системе координат, то можно показать, что

|MF1| = a+ x, |MF2| = –a+ x

117

при x > 0, или

|MF1| = –a– x, |MF2| = a– x

при x < 0. В результате получаем

MF1 MF2 2a .

Проиллюстрируем на примере работы с общим уравнением гиперболы

метод выделения полного квадрата.

Пример. Показать, что уравнение

9x2 –16y2 + 18x + 64y – 199 = 0

определяет гиперболу, приведя его к каноническому виду. Найти центр гиперболы, ее полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот. Сделать чертеж.

Решение. Дополняя члены, содержащие x и y, до полного квадрата: 9(x2+2x) – 16(y2–4y) – 199 = 0,

9(x2+2x+1-1) – 16(y2–4y+4-4) – 199 = 0, 9(x+1)2 – 9 – 16(y–2)2 + 64 – 199 = 0, 9(x+1)2 – 16(y–2)2 = 144.

Отсюда получаем каноническое уравнение гиперболы:

(x 1) 2 ( y 2)2 1. 16 9

Следовательно, центр гиперболы находится в точке О’(–1; 2), действительная полуось a=4, мнимая – b=3, фокальное расстояние c= 42 32 = 5, эксцентриситет =c/a = 5/4. Уравнения асимптот имеют вид y 2 34 (x 1) ,

а координаты фокусов гиперболы: F1(- 6; 2), F2 (4; 2).

Построение гиперболы лучше начинать с центра гиперболы, а затем уже отмечать вершины, фокусы и другие точки (рис. 1.10.4).

y

5

	O'
	2
F1	F2

												x
6	5					1	0			3	4
							1

Рис. 1.10.4

118

1.10.5. Парабола

Определение 4. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Парабола в прямоугольной декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

y2 = 2px.

(1.10.8)

При параллельном сдвиге системы координат уравнение (1.10.8) при-

мет вид:

(y–y0)2 = 2p(x–x0).

При р > 0 ветви параболы направлены вправо, при р < 0 ветви параболы направлены влево.

Число p называется фокальным параметром параболы, точка О’(x0; y0) есть вершина параболы, точка F, отстоящая от вершины на расстояние p/2, называется фокусом параболы. Прямая D, перпендикулярная к оси параболы и проходящая на расстоянии p/2 от ее вершины, называется директрисой па-

раболы (рис. 1.10.5).

y

D
						M (x; y)
0			p
			2
	p			F		x
2

Рис. 1.10.5.

Фокально-директориальное свойство параболы: парабола есть гео-

метрическое место точек, равноотстоящих от фокуса и от директрисы

(рис.1.10.5).

Действительно, пусть парабола задана в декартовой системе координат в каноническом виде. Тогда расстояние от любой точки параболы M(x; y) до фокуса F(c; 0) равна

p 2

y2

x2 px

p2

p 2

p

FM

x

2 px

x

x

.

2

4

2

2

Здесь учтено, что y2=2px и x+p/2 0. С другой стороны, расстояние до директрисы D: x=p/2 равно (M , D) x 2p . Следовательно, |FM| = (M, D).