Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

139

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества A и B равны, то пишут: A B .

Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A является элементом множества B . Символически это обозначается так A B (« A включено в B ») или B A («множество B включает в себя множество A »).

Например, A – множество всех студентов вуза, а B – множество студентов – первокурсников этого вуза, тогда B есть подмножество A, т. е.

B A.

По определению пустое множество является подмножеством любого множества, и само множество является своим подмножеством.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным, если число элементов бесконечно.

Примером бесконечного множества является множество точек на пря-

мой.

Определение. Число элементов в конечном множестве называется его мощностью. Мощность пустого множества равна нулю.

Рассмотрим операции над множествами.

Определение. Пересечением (или произведением) множеств A и B

называется множество C , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B .

Пересечение (произведение) множеств					обозначают	C A I B (или
A B ). Кратко можно записать C A I				B c : c A и c B		(см. рис. 2.1.1).
C=A∩B				C=A∩B=ø
A			B	A	B
a)			рис. 2.1.1	б)

Пересечение A и B на рис.2.1.1, б является пустым множеством.

Два множества, пересечение которых есть пустое множество, называ-

ются непересекающимися.

Свойства.

1. A B B A (перестановочность).

2. A B C A B C (ассоциативность).

3.A A A .

4.A = .

Определение. Объединением (или суммой) множеств A и B называ-

ется множество C , состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит

140

хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозна-

чают C A I	B (или C A B ). Кратко можно записать C A I				B c : c A
или c B (см. рис. 2.1.2).
	А	В	А	В
		а)	рис. 2.1.2	б)

На рис. 2.1.2, а объединение получается как слитное образование, а на рис. 2.1.2, б – как раздельное.

Свойства

1.A B B A (коммутативность).

2.A B C A B C (ассоциативность).

3.A A A .

4.A A .

Определение. Разностью множеств A и B называется множество C , которое состоит из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B . Разность множеств обозначают C A \ B . Кратко можно запи-

сать C A \ B c : c A и c B .

	A	B	A		B		B
							A
	а)						C=A\B= в)
		C=A\B б)
	C=A\B
			рис. 2.1.3
	На рис.2.1.3, б разность C A \ B A , так как A I B , а на рис. 2.1.3,
	в разность A \ B , так как A B .
	По определению A \ A ,		A \ A .
	Определение. Если B A, то разность A \ B называется дополнением
	CAB	B до	множества		A	и	обозначается CAB		(см.
		рис.2.1.4). В этом случае					A рассматривается		как
	A	основное множество.
	B	Примеры.						A 1;3;6;8 ,
		1.		Даны		множества
	рис. 2.1.4	B 2;4;6;8 . Найти				объединение,		пересечение и
		разность множеств A				и B .
								A I B 6;8 ,
		Решение: AUB 1;2;3;4;6;8 ,

141

A\ B 1;3 .

2. Даны множества A 1;2;3;4;5;6;7;8 , B 2;4;6;8 . Найти дополне-

ние B до A.

Решение: CAB 1;3;5;7 .

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

– означает «из предложения следует предложение »;– «предложение и равносильны», т. е. из следует и из

следует ;

– означает «для любого», «для всякого»;– «существует», «найдется»;

:– «имеет место», «такое что».

Примеры.

1.Запись x A : означает: «для всякого элемента x A имеет место предложение ».

2.x A U B x A или x B – эта запись определяет объединение

множеств A и B .

Если заданы два множества A, B и правило (закон) f , по которому

каждому элементу a A ставится в соответствие b B , тогда говорят, что

задано отображение f множества A в B , и пишут f : A B или

A f B . При этом элемент b B называется образом элемента a A, если этот элемент при отображении в A ему соответствует, т. е. a f b .

Если множество значений отображения f совпадает с множеством B , то говорят, что f отображает множество A на множество B . В общем

случае в множестве B могут быть элементы, которые не соответствуют ни одному элементу из множества A.

Если при отображении f : A B каждый элемент множества B по-

ставлен в соответствие единственному элементу из множества A, то это отображение называется взаимно однозначным, или обратимым, и пишут

f 1 B A. Отображения f и f 1 называются взаимно обратными.

Если между элементами двух различных множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют экви-

валентными (или равномощными) и записывают A~ B .

Свойства эквивалентности.

1.A~A (рефлексивность).

2.A~B B~A (симметричность).

3.A~B, B~C A~C (транзитивность).

Каждому классу бесконечных эквивалентных множеств, ставят в соот-

ветствие символ , называемый координальным числом, или мощностью

142

множества. Под мощностью понимают то общее, что присуще классу эквивалентных между собой множеств.

Доказано, что среди бесконечных множеств нет множества наибольшей мощности, но есть множество наименьшей мощности – это множество натуральных чисел.

Все множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называются счетными (множество, элементы которого можно пронумеровать). Следующее по мощности множество есть множество мощности континуума. Примером может служить множество действительных чисел.

2.1.2. Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

–N 1;2;3;...;n;... – множество натуральных чисел;

–Z0 0;1;2;...;n;... – множество целых неотрицательных чисел;

–Z 0; 1; 2;...; n;... – множество целых чисел;

–Q mn : m Z,n N – множество рациональных чисел.

Определение. Множество всех бесконечных десятичных дробей назы-

вается множеством действительных чисел и обозначается R , а каждая такая дробь называется действительным числом.

Множество Q всех рациональных чисел является подмножеством множества R , т. е. Q R .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными 2, 3, 5,... . Иррациональные числа изображаются

бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точ-

ками числовой прямой (или числовой оси) (см. рис. 2.1.5), т.е. прямой, на ко-

0	1	x	торой выбрано начало отсчета, положительное направление
рис. 2.1.5			и единица масштаба.
			Между множеством действительных чисел и точками
			числовой прямой существует взаимно однозначное соот-

ветствие, т. е. Каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число x » говорят «точка x ».

Пусть a и b – действительные числа, причем a b , тогда числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

143

–a;b x : a x b – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

–a;b x : a x b – интервал (открытый промежуток);

– a;b x : a x b , a;b x : a x b – полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);

–бесконечные интервалы (промежутки):

;b x : x b , ;b x : x b , a; x : x a ,

a; x : x a , ; x : x R .

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала O влево и вправо.

Определение. Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки x0 называется любой интервалa;b , содержащий точку x0 . В частности, интервал x0 ; x0 , где 0 называется –окрестностью точки x0 . Число x0 называется центром, а

число –радиусом (см. рис. 2.1.6).

εε

	(			)
0	x0–ε	x0 x		x0+ε	x
	рис. 2.1.6
Если x x0 ; x0 ,	то выполняется неравенство x0 x x0 ,

или, что то же x x0 . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в -окрестность точки x0 (см. рис.2.1.6).

Упорядоченные пары действительных чисел можно изображать точками координатной плоскости.

Под координатной плоскостью будем понимать плоскость с заданными на ней двумя взаимно перпендикулярными координатными осями (или числовыми прямыми). Поэтому множество упорядоченных пар действительных чисел будем называть числовой плоскостью, а любую числовую пару –

точкой числовой плоскости.

Числовую плоскость будем обозначать R2 . На числовой плоскости можно применять геометрическую терминологию. Например, множество пар

x; y R2 или точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y x ,

есть прямая, а именно биссектриса первого и третьего координатных углов. Множество точек x; y R , координаты которых удовлетворяют урав-

нению y x3 , есть кубическая парабола.

144

Пример. Указать множество точек плоскости, заданных условием y x .

Решение: Искомое множество показано штриховкой на рис.2.1.7.

2

–1 1

0		2
	1
–1

рис. 2.1.7

145

ЛЕКЦИЯ 2.2. ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

2.2.1. Переменная величина

Понятие «величина» – основное понятие, с которым мы встречаемся в любой естественнонаучной или технической области знания. Под величиной понимают все то, что может быть измерено и выражено числом (числами). Например, длина, площадь, объем, вес, температура, скорость, сила и т. п..

Обычно, среди совместно рассматриваемых величин некоторые изменяются, другие же остаются постоянными.

Переменной величиной называют величину, которая принимает различные численные значения; величина, которая сохраняет одно и тоже численное значение, называется постоянной.

Переменная величина считается заданной, если задана совокупность её значений. Совокупность значений переменной величины называется областью изменения переменной величины.

Переменные величины делятся на два класса: непрерывные и дискрет-

ные.

Переменная величина называется непрерывной, если областью её изменения является некоторый интервал. Переменная величина называется дискретной, если областью её изменения является множество изолированных точек. Например, скорость ветра – непрерывная величина, число студентов в аудиториях – дискретная величина.

Переменная величина называется упорядоченной, если из двух значений переменной величины можно указать предыдущую и последующую.

Если переменная величина в области изменения убывает или возрастает, то она называется монотонной.

Если значения переменной величины таковы, что число M m будет

больше (меньше) любого значения переменной величины, то говорят, что переменная величина ограниченна сверху (снизу). Переменная величина называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

2.2.2. Функция одной и нескольких переменных

Чаще всего изменению одной переменной величины сопутствует изменение другой, более того, изменение одной является причиной изменения другой. В некоторых случаях изменение одной переменной величины может быть продиктовано изменением двух, трех и более величин.

Примеры.

146

1.Площадь квадрата S a2 изменяется в зависимости от изменения длины его стороны a .

2.Работа, совершаемая на некотором прямолинейном участке пути под

действием некоторой силы, A F l изменяется в зависимости от изменения длины участка и величины силы воздействия F .

3.Периметр треугольника P a b c изменяется в зависимости от длин его сторон a, b и c .

4.Сила взаимодействия двух электрических зарядов по закону Кулона

				q1	q2	изменяется в зависимости от изменения величин зарядов q	и q	,
F
				r2		1		2

значения диэлектрической проницаемости и расстояния между зарядами r . Таким образом, всякий процесс характеризуется взаимоизменяемостью нескольких переменных величин. Такое представление приводит к важнейшему в математике понятию функциональной зависимости, т.е. связи между переменными величинами. Важнейшей задачей математического анализа

является всестороннее изучение функциональных зависимостей.

Пусть даны x и y – переменные величины, X и Y – области измене-

ния этих величин.

Определение. Если каждому значению величины x X по некоторому закону соответствует единственное значение величины y Y , то говорят, что

задана функция	y f x , или что величины				x	и y связаны между собой
f		функциональной зависимостью (см. рис. 2.2.1).
			При этом, x	– аргумент функции (незави-
		симая переменная),			y	– значение функции (за-
		висимая переменная),				f – закон соответствия,
Х	Y	y f	x – функция одной независимой перемен-
		ной.
			Множество	X	называется областью опре-
рис. 2.2.1
		деления функции		y	f x и обозначается D f .
Множество Y называется областью значений функции y f x							и обозна-
чается E f .							y y x ,
Иногда функциональную зависимость				y	от x пишут в виде
не вводя новой буквы f для обозначения зависимости.
Исходя из определения, областью определения функции y f x , яв-
ляется множество значений x , при которых функция имеет смысл.
Для функции одной переменной y f x					областью определения D f
является интервал координатной оси OX или вся координатная ось.
Пример. Для функции y			2x 3 найти D f и изобразить её.

147

Решение: D f : 2x 3 0 x 32 D f 32 ;

							x
				3		0
			2
	3	;
Ответ: x	2		.

Пусть даны x, y и z – переменные величины, D – область изменения пар чисел x; y , а Z – область изменения z .

Определение. Если каждой паре чисел x; y D по некоторому закону

соответствует единственное значение величины z Z , то говорят, что задана
функция z f x; y (см. рис. 2.2.2).
(x1;y1)			При этом x, y – аргументы функции (незави-
		симые переменные),		z – значение функции (зависи-
(x2;y2)		мая переменная), f – закон соответствия, z f x; y
(x3;y3)	Z	–	функция двух	независимых переменных,
D		D D f – область определения функции, Z E f
		– область значений функции.
	рис. 2.2.2		Для функции двух переменных z f x; y об-
ласть определения D f			является часть координатной плоскости XOY или

вся координатная плоскость.

Пример. Для функции z ln 2x y найти D f и изобразить ее.

y

Решение:

D f : 2x y 0 D f : y 2x . Зна-

чит, областью определения является часть плоскости

D

(f

)

XOY , координаты точек которой удовлетворяют нера-

0

x

венству

y 2x , т.е. полуплоскость, расположенная

выше прямой y 2x . Так как точки прямой не удовле-

творяют неравенству y 2x ,

то прямая изображается

рис. 2.2.3

пунктирной линией (см. рис.2.2.3).

Ответ: y 2x .

Определение.

Если

каждой

совокупности

переменных величин

x1, x2 ,..., xn D по некоторому закону соответствует единственное значение u U , то говорят, что задана функция U f x1, x2,..., xn – функция n неза-

висимых переменных.

148

Для функции трех переменных u f x; y; z область определения

функции геометрически представляется в виде части трехмерного пространства.

Для функции n переменных, при n 3 , область определения невозможно представить геометрически.

2.2.3. Способы задания функции

Наиболее распространены следующие способы задания функции: аналитический, графический и табличный.

I. Аналитический способ задания функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по значениям независимой переменной (независимых переменных) можно получить соответствующие им значения функции.

Функция, заданная аналитическим способом может быть задана: явно, неявно и параметрически.

Функция называется явно заданной, если она задана уравнением y f x z f x; y , разрешенным относительно зависимой переменной y

(зависимой переменной z ).

Примеры.

1.y x2 cos3x – явная функция одной переменной.

2.z 2xy y2 3ex – явная функция двух переменных.

Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением F x; y 0 – для функции одной переменной ( F x; y; z 0 – для функции

двух переменных), не разрешенным относительно зависимой переменной y

(зависимой переменной z ).

Аналогично определяется неявно заданная функция n независимых переменных вида F x1; x2;K ; xk ;K ; xn;u 0 , где u f x1; x2;K ; xn .

Примеры.

1.x2 3xy2 ytgx 0 – неявно заданная функция одной переменной.

2.z ln x y zxy 0 – неявно заданная функция двух переменных.

3. u2 x ux2 y eu 0 – неявно заданная функция трех переменных. z

Функция называется параметрически заданной, если сама функция и её аргумент (аргументы) заданы аналитическими выражениями, зависящими от одного и того же параметра t :