Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

219

y dy x . Отбрасывая бесконечно малую x более высокого порядка,

чем x , получаем приближенное равенство
y dy ,	(2.10.8)
причем это равенство тем точнее, чем меньше x .
Подставляя в равенство (2.10.8) значения y и dy , получим:
f x0 x - f x0 f x0 x
или
f x0 x f x0 f x0 x .	(2.10.9)

Формула (2.10.9) используется для вычислений приближенных зна-

чений функций одной переменной.

Для функции двух переменных z f x; y формула вычисления её

приближенных значений такова:

f x0 x; y0 y f x0; y0 fx x0; y0 x fy x0; y0 y . (2.10.10)

По аналогии приближенную формулу можно записать и для функции с любым числом переменных.

Примеры.

1. Вычислить приближенно arctg1,05.

Решение: Рассмотрим функцию f x arctgx . По формуле (2.10.9)

имеем: arctg x0 x arctg x0 arctgx0 x ,т.е

arctg x0 x arctg x0 1 x 2 . x0

Так как x0 x 1,05, то при x0 1 и x 0,05 получаем:

arctg 1,05 arctg1 0,05 0,025 0,810 . 1 1 4

Ответ: arctg 1,05 0,81

2. Вычислить приближенно 1,02 3 1,97 3 .

Решение: Рассмотрим функцию f x; y	x3 y3 .
По формуле (2.10.10) имеем:

x0 x 3 y y0 3 x03 y03 x3 y3 x x x3 y3 y y, т.е.

x x 3	y y	3	x 3	y 3			3x2 x			3y2 y
							0			0		.
0	0		0	0		2 x 3		y 3		2 x 3 y 3
							0	0		0	0
Так	как,	x0 x 1,02 ; y0					y 1,97 ,			тогда	при x0 1;		x 0,02;
y0 2; y 0,03 получаем:

					220
1,02 3 1,97 3 13	23		3 12 0,02					3 22 - 0,03				3 0,01 - 0,06 2,95.
			2	3	2	3		3		2	3
				1				2 1
Ответ: 1,02 3	1,97 3				2,95.

221

ЛЕКЦИЯ 2.11. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

2.11.1. Производные высших порядков функции одной переменной

Производные порядка выше первого называются производными выс-

ших порядков.

Рассмотрим явно заданную функцию y f x .

Производная этой функции yx

dy

f x x – функция, зависящая от x .

dx

Если функция

f x x дифференцируема, то её производная называется произ-

водной

второго

порядка

и

обозначается

или

yxx

f

x ,

d

2 y

d

dy

dy

,

,

.

y ,

dx2

dx

dx

dx

Следовательно,

y y .

Производная от производной второго порядка, если она существует,

называется

производной

третьего

порядка

и обозначается

y

d3 y

или f x ,

,...

. Следовательно, y y .

dx3

Производной n –го порядка ( или n –й производной) называется произ-

водная от производной

n 1 порядка:

y n

y n 1 .

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают

римскими цифрами или числами в скобках ( yV или

y 5 – производная пято-

го порядка).

Пример. Найти производную n –го порядка от функции y e3x 1.

Решение: y 3e3x 1 ,

y 9e3x 1 , y 27e3x 1,

y IV 81e3x 1 ,

…………….,

y n 3n e3x 1 .

Ответ: y n 3n e3x 1 .

222

Рассмотрим

функцию

y f x заданную неявно в виде уравнения

F x; y 0 .

Первую производную от неявной функции можно найти по формуле

yx

Fx

. Так как первая производная yx выражается через неявную функ-

Fy

цию,

то

при

её

повторном

дифференцировании

нужно учитывать,

что

y y x .

Пример. Найти производную второго порядка от функции x3 y3

1.

Решение: Дифференцируем уравнение x3 y3

1 по x .

3x

2

3y

2

y

0

y

x2

y2 . Далее имеем:

2

2

2

2x4

2xy

4

3

2xy

x

y

2

2x

2xy

2yy

2x y 2xy

.

y

y4

y3

y3

y5

Ответ:

y

2x4

2xy3

.

y5

Рассмотрим функцию y f x заданную параметрически:

x x t ,

.

y y t

yt

Как известно, первая производная

yx

находится по формуле yx

.

xt

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.

Из определения второй производной и формулы yx следует, что

yx

t

, т.е.

yxx yx x

yx t

tx

xt

yx

t

.

(2.11.1)

yxx

xt

y

y

t

xx

t

IV

xxx

Аналогично получаем

;…, yxxxx

и т.д.

yxxx

xt

xt

Пример. Найти производную второго порядка от функции

t

2

1 ,

x ln

y arctgt.

момент времени: St t v t .

223

1

2t

1 t

2

1

1

Решение:

yx

arctgt

:

.

ln t2 1

t2

1

t2 1

t2 1 2t

2t

1

1

2t

t

2

1

2t

Тогда по формуле (2.11.1)

yxx

2:

4t3

.

ln t2 1

4t2

t2 1

Ответ: yxx t2 31 . 4t

Пусть материальная точка M движется прямолинейно по закону S S t . Как уже известно, производная St равна скорости точки в данный

Пусть в момент времени t скорость точки равна v t , а в момент t t

– скорость равна v t t v t v , т.е. за промежуток времени	t ско-
рость изменилась на величину v .

Отношение vt выражает среднее ускорение движения точки за времяt . Предел этого отношения при t 0 , называется ускорением точки M

в данный момент времени t и обозначается a t :		a t lim	v	, т.е.
	t a t .	t 0	t
v

Но v t St t . Поэтому a t St t , т.е. a t Stt t .

Таким образом, вторая производная пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения, т.е.

Stt t a t .

2.11.2. Частные производные высших порядков
Рассмотрим функцию двух			переменных,				заданную	в явном виде
z f x; y . Её частные производные				z		f x; y	и z f x; y являются
				x		x	y	y
также функциями двух переменных				x	и	y . Следовательно, от них снова
можно взять частные производные по x и по y :
	z			2 z		zxx ,
				x2
	x x

224

z

2 z

zxy ,

x

x y

y

z

2

z

zyx ,

y

y x

x

z

2

z z .

y 2

yy

y

y

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Так,

2

z

3

z

4

z

IV

2

2

zxyx2 .

zxxy

x

,

x y x

y

x

x y x

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

zxy ,	3 z		,	zxyx .
	x y	2

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z x4 2x2 y3 y5 1.

Решение:

Так как zx 4x3 4xy3 и zy 6x2 y2 5y4 , то zxy 4x3 4xy3 y 12xy2 ,

zxx 4x3 4xy3 x 12x2 4 y3 ,

zyx 6x2 y2 5y4 x 12xy2 ,

zyy 6x2 y2 5y4 y 12x2 y 20 y3 .

Оказалось, что zxy zyx . Этот результат не случаен. Имеет место тео-

рема.

Теорема 1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z f x; y имеем:	2 z		2 z	.
	x y
			y x

225

2.11.3.Полные дифференциалы высших порядков функции одной

инескольких переменных

Чтобы найти полный дифференциал второго порядка нужно взять дифференциал от дифференциала первого порядка. Аналогично находят дифференциал третьего порядка и т.д.

Рассмотрим функцию одной переменной y f x . Найдем дифферен-

циал второго порядка этой функции:

dy yxdx d 2 y d dy d yxdx yxdx x dx yxxdx2 , т.е

d	2		2	.
		y yxxdx
Дифференциал третьего порядка, имеет вид d					3		2			3	.
						y d d		y	yxxxdx

Для дифференциала n –го порядка имеем d n y y n x dxn .

Рассмотрим функцию двух переменных z f x; y . Её полный диффе-

ренциал первого порядка вычисляют по формуле dz xz dx yz dy .

Полный дифференциал второго порядка имеет вид:

	d 2 z d dz			z dx	z dy dx				z dx	z dy dy , т.е
		x		x	y		y		x	y

d

2

z

2z

dx

2

2z

dydx

2 z

dxdy

2 z

;

x2

y x

x y

dy2

согласно теоремы (см. п.2.11.3), второе и третье слагаемые равны между собой. Таким образом,

d 2 z 2z dx2 2 2z dxdy 2z dy2, или

x2 x y y2

d 2 z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2.

Вообще, полные дифференциалы n –го порядка для функций любого числа переменных выражаются через их частные производные того же порядка. Поэтому, чтобы найти дифференциал n –го порядка, необходимо сначала записать его выражение через соответствующие производные, а затем найти эти производные и подставить в выражение для дифференциала.

226

ЛЕКЦИЯ 2.12. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

2.12.1. Теорема Ролля и её геометрический смысл

Теорема. Если функция y f x непрерывна на некотором отрезке

a;b , дифференцируема на интервале a; b и на концах отрезка принимает
одинаковые значения	f a f b , то существует хотя бы одна точка
c a;b , в которой f	c 0.

Доказательство:

Так как функция y f x непрерывна на отрезке a; b , то она принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения M и m .

1.Если M m , то функция y f x постоянна на a;b , а значит её производная f x 0 в любой точке отрезка a;b .

2.Если M m , то функция достигает хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке с интервала a; b , т.к. f a f b .

Пусть функция принимает				значение M в					точке x c a;b , т.е.
f c M . Тогда для всех x a;b				выполняется неравенство
				f c				f x .	(2.12.1)
Найдем f c :							f c x f c
			f c	lim						.
				x 0				x
Согласно (2.12.1.) f c x f c						0 .
Если x 0 (т.е. x 0 справа от x c ), то
	f c x f c					0 f c 0 .
			x
Если x 0 (т.е. x 0 слева от x c ), то
			f c x f c					0 f c 0 .
			x
			Ч. и т. д.
Таким образом, f c 0.							c 0 , когда		f c m .
Аналогично доказывается, что f

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что на гра-

фике функции y f x найдется точка, в которой касательная к графику па-

раллельна оси OX (см. рис. 2.12.1, 2.12.2). На рисунке 2.12.3 таких точек две. Если f a f b 0 , то теорему Ролля можно сформулировать сле-

дующим образом: между всякими двумя нулями функции лежит хотя бы один нуль производной.

227

y

y M

M

m

m

0

a

с

b

x

0

a

с

b

x

рис. 2.12.1

рис.2.12.2

y

M

	m
0	a C1 C2 b	x
	рис. 2.12.3

2.12.2. Теорема Коши
Теорема. Если функции f x и		x		непрерывны на отрезке a;b ,
дифференцируемы на интервале a; b , причем x 0						для x a;b , то най-
дется хотя бы одна точка c a;b такая, что
				c
	f b f a
			f		.
	b a
				c

Доказательство: Отметим, что b a 0 , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c , такая, что c 0 , а это противоречит условию доказываемой теоремы x 0 для x a;b .

Рассмотрим вспомогательную функцию

F x f x f a	f b f a	x a .
	b a

F x удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке a;b и дифференцируема на интервале a; b , как линейная комбинация

228

функций f x и x ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения F a F b 0 . Тогда, по теореме Ролля найдется точка x c a;b такая, что F c 0 .

		x f		x	f b f a		x , тогда
					b a
	F

F c f c f b f a c 0.

b a

Отсюда следует

fc f b f a c

b a

f c f b f a .

c b a

Что и требовалось доказать.

2.12.3. Теорема Лагранжа и её геометрический смысл

Теорема. Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема на интервале a; b , то существует хотя бы одна точка c a;b такая, что выполняется равенство

					f b f a f c b a .						(2.12.2)
Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы
Коши. Действительно, положив x x							имеем b a b a ,
											x 1,
c 1.
Подставляя эти значения в формулу
					f b f a				c
								f		,
					b a
	f b f a								c
получаем		f		c или
	b a
					f b f a f c b a .						(2.12.3)

Что и требовалось доказать.

Формулу (2.12.3) называют формулой Лагранжа (формула о конечном приращении).

Таким образом, приращение дифференцируемой функции на отрезкеa;b равно приращению аргумента, умноженному на значение производной

функции в некоторой внутренней точке этого отрезка. Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Запишем формулу (2.12.3) в виде