Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

3.1. Определение функции нескольких переменных

В практических задачах экономики, решаемых с использованием методов математического анализа, обычно функции зависят от нескольких переменных.

Например, в экономике часто используется функция Кобба-Дугласа

,

которая называется производственной функцией. Эта функция описывает зависимость объема производства Q от капитальных затрат К и трудовых ресурсов L. В этой функции А (А > 0) – параметр производительности конкретно взятой технологии, – доля капитала в доходе (0<  <1).

В экономических задачах так же часто используется функция прибыли, которая зависит от – объемов производства различных видов продукции, – цен на единицы этих видов продукции и затрат на производство

,

где  функция затрат.

Определение функции нескольких переменных. Переменная величина u называется функцией переменных величин с областью определения D и множеством значений E, если любой точке М(), принадлежащей области D, соответствует единственное значение u, принадлежащее множеству Е.

Записывают ( ) или u= u().

Пример 3.1. Найти область определения D и множество значений Е функции .

Находим ; .

Для простоты изложения обычно рассматривают функцию двух переменных. Обобщение результатов на большее число переменных не представляет труда.

Для изображения функции 2-х и 3-х переменных используют линии и поверхности уровня.

Рис. 46

Линией уровня функции называется множество точек плоскости , в которых функция имеет постоянное значение , с = const. Например, для функции линиями уровня являются окружности на плоскости (рис. 46).

Поверхностью уровня функции 3-х переменных называ-ется множество точек трехмерного пространства , в которых функция принимает постоянное значение, т. е. f = c, с = const.

Например, для функции поверхностями уровня являются сферы r = const.

3.2. Предел функции нескольких переменных

Определение предела функции нескольких переменных по Коши на языке «». Число b называется пределом функции при , , если для любого  больше нуля существует такое , зависящее от , что если х принадлежит -окрестности , y принадлежит -окрестности , то значение функции принадлежит -окрестности числа b.

С помощью кванторов данное определение можно записать так

, 

.

Множество точек плоскости Oxy, удовлетворяющее неравенству

,

называется -окрестностью точки .

Записывают , где  расстояние между точками и М, .

Учитывая это, определение предела функции можно записать следующим образом

.

Можно также записать по другому,

.

Определение предела функции нескольких переменных при имеет вид

.

Нахождение пределов функций нескольких переменных сводится к нахождению пределов функций одной переменной.

Пример 3.2. Найти предел .

Сделаем замену переменной, получим предел функции одной переменной и применим правило Лопиталя.

.

Пример 3.3. Показать, что не существует.

Найдем этот предел при двух способах стремления к .

1. Если , а , то .

2. Если , а , то .

При различных способах стремления точки к точке предел имеет различные значения, следовательно, он не существует.