- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Определение функции нескольких переменных
- •3.2. Предел функции нескольких переменных
- •3.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных
- •3.4. Свойства пределов
- •3.5. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки и линии разрыва
- •Свойства непрерывных функций
- •3.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных
- •3.9. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных
- •3.10. Полный дифференциал функции нескольких переменных
- •3.10. 1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений
- •3.11. Частные производные высших порядков
- •3.12. Дифференциалы высших порядков
- •3.13. Частные производные сложной функции нескольких переменных
- •3.14. Производная функции, заданной неявно
- •3.15. Производная функции по направлению
- •3.16. Градиент функции, его свойства
- •3.17. Формула Тейлора для функций двух переменных
- •3.18. Локальный экстремум функции нескольких переменных
- •3.19. Необходимый признак локального экстремума
- •3.20. Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных
- •3.21. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •3.22. Условный экстремум функции нескольких переменных
- •3.22.1. Постановка задачи
- •3.22.2. Нахождение критических точек
- •3.22.3. Метод множителей Лагранжа
- •3.22.4. Достаточный признак условного экстремума функции двух переменных
- •3.23. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных
- •Вопросы к экзамену Введение в математический анализ
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Шершнев Владимир Григорьевич математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •117997, Москва, Стремянный пер. 36.
3.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных
Запишем определения бесконечно малой и бесконечно большой функций нескольких переменных.
Функция нескольких переменных называется бесконечно малой функцией при , если .
Запишем более подробно с помощью кванторов.
.
Функция называется бесконечно большой при , если ее предел не ограничен.
.
Для функций нескольких переменных, так же, как и для функций одной переменной, функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и, наоборот, функция обратная к бесконечно большой является бесконечно малой.
Бесконечно малые функции нескольких переменных обладает такими же свойствами, что и бесконечно малые функции одной переменной.
3.4. Свойства пределов
Пределы функций нескольких переменных обладают такими же свойствами, как и пределы функций одной переменной.
Теорема 3.1. Если функции и имеют одинаковые области определения и имеют конечные пределы при
и , где b = const, c = const,
то справедливы следующие соотношения:
1) ;
2) ;
3) , если .
3.5. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки и линии разрыва
Полным приращением функции нескольких переменных в точке называется разность значений функции и , т. е.
.
Если функция зависит от двух переменных , то
.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малым приращениям независимых переменных соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.
.
Пример 3.4. Показать, что функция является непрерывной в любой точке плоскости Oxy.
Находим
.
Преобразуем предел .
.
Следовательно,
или
,
т. е. предел функции равен функции от предела независимой переменной.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и
.
Можно записать с помощью кванторов на языке «».
.
Функции нескольких переменных, как и функции одной переменной, могут иметь точки разрыва. Точка называется точкой разрыва функции нескольких переменных, если функция не является непрерывной в этой точке.
Например, функция имеет точку разрыва O(0, 0).
Функции нескольких переменных могут иметь линии разрыва. Например, имеет две линии разрыва в виде пересекающихся прямых ; а функция имеет линию разрыва в виде параболы .
Свойства непрерывных функций
1. Если функция нескольких переменных является непрерывной в замкнутой области, то она достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений.
2. Если функция нескольких переменных является непрерывной в замкнутой области, то она хотя бы один раз принимает в этой области любое значение между своим наименьшим и наибольшим значениями.
3. Если функция непрерывна в замкнутой области, то она равномерно-непрерывная в этой области.
Функция называется равномерно-непрерывной в некоторой области, если для любого > 0 существует такое () > 0, что для любых двух точек и этой области, расстояние между которыми меньше ( ) выполняется неравенство
.