3.23. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных
Пусть функция
задана в замкнутой области G.
Абсолютным максимумом (минимумом) функции в замкнутой области называется наибольшее (наименьшее) значение функции в этой области.
Функция непрерывная в замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Теорема 3.9. Функция нескольких переменных достигает своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области либо в критической точке, являющейся внутренней точкой области, либо в граничной точке области.
Пример 3.29.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
в области G,
ограниченной системой неравенств
Область G, в которой исследуется заданная функция, изображена на рис. 55.
Рис. 55
Запишем систему уравнений для нахождения критических точек функции
Решением системы
является единственная точка
,
являющаяся внутренней точкой области
G.
Вычисляем значение функции в этой точке
.
Значения функции в точках области G
приведены на рисунке (в прямоугольниках).
Найдем наименьшее и набольшее значения на каждой граничной прямой области G.
Рассмотрим прямую (ОА) с граничными точками О(0; 0) и А(3; 0).
Ее уравнение
.
На этой прямой
.
Производная функции
при
.
Значение функции
в этой критической точке
.
Значения функции в граничных точках
;
.
Прямая (ОВ) с граничными точками О(0; 0) и В(0; 3).
Ее уравнение
.
Уравнение функции
.
Производная
при
.
Критическая точка
,
.
Значения функции в граничных точках
;
.
Прямая (АВ) с граничными точками А(3; 0) и В(0; 3).
Ее уравнение
.
Преобразуем уравнение исследуемой функции
.
Производная функции
при
;
.
Критическая точка
.
Значение функции
в этой точке
.
О т в е т.
в точке
;
в точках А(3;
0) и В(0;
3).
Вопросы к экзамену Введение в математический анализ
1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства.
2. Декартово произведение множеств. Модуль числа, его свойства. Грани множеств. Функции, способы их задания, классификация.
3.
Окрестность точки. Понятие стремления
дискретной и непрерывной величины к
предельной точке. Определение предела
функции непрерывного аргумента по Коши
при
и
.
4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.
5.Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса. Определение предела функции по Гейне.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними.
7. Свойства бесконечно малых функций.
8. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.
9. Теоремы о пределах (свойства пределов).
10. Первый замечательный предел.
11. Второй замечательный предел, его применение в финансовых вычислениях.
12. Сравнение бесконечно малых функций.
13. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.
14. Свойства непрерывных функций.
15. Точки разрыва функции. Кусочно-непрерывные функции.