Расчет межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру процентной ставки	Число банков	Сумма выданных кредитов на 1 банк		()^2	()^2n
А	1	2	3	4	5
11 – 14 14 – 17 17 – 20 20 – 23 23 – 26	4 6 4 3 3	26,39 19,62 13,21 6,61 2,25	11,26 4,49 -1,92 -8,52 -12,88	126,79 20,16 3,69 72,59 165,89	507,15 120,96 14,75 217,77 497,68
Итого	20	15,13	–	–	1358,31

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

==67,92.

Для расчета общей дисперсии возведем все значения «у» в квадрат.

Таблица 10.4.

у	у^2	у	у^2	у	у^2	у	у^2	у	у^2
9,54 13,56 22,33 27,43	91,01 183,87 498,63 752,40	13,58 3,25 27,7 21,2	184,42 10,56 767,29 449,44	13,5 2,5 19,63 5,1	182,25 6,25 385,34 26,01	17,9 12,2 1,0 26,55	320,41 148,84 1,00 704,90	23,88 20,18 5,2 16,45	570,25 407,23 27,04 270,60
									5987,74

Рассчитаем общую дисперсию по формуле.

= – 228,92 = 70,47.

Тогда коэффициент детерминации будет:

η² = = 0,964.

Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 96,4% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 3,6% – прочими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение будет равно:

η = = = 0,98.

Оно показывает, что связь между суммой выданных банком кредитов и размером процентной ставки очень тесная.

Теоретическую формулу связи выбирают в виде математического уравнения. Например,

уравнения линейной связи: у_х = а₀ + а₁х;

уравнения гиперболы: у_х = а₀ + а₁;

уравнения параболы 2-го порядка и т.д. у_х = а₀ + а₁х + а₂х².

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой:

у_х = а₀ + а₁х ,

где у – индивидуальные значения результативного признака;

х – индивидуальные значения факторного признака;

а₀, а₁ – параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

у_х – теоретическое значение результативного признака.

Найти теоретическое уравнение связи – это значит рассчитать параметры прямой линии способом наименьших квадратов, который дает систему двух нормальных уравнений:

,

где n – число показателей.

Теоретическое уравнение у_х = а₀ + а₁х выражает функциональную зависимость у от х. Это возможно допустить, если прочие факторы, влияющие на у, не оказывают в данном случае существенного влияния. Это бывает, когда корреляционная зависимость между у и х высокая. В этом случае параметр а₁ при х в уравнении регрессии приобретает большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии, характеризует, в какой мере увеличивается у_х с ростом величины х.

Пример 2. Имеются выборочные данные по 5 однородным предприятиям:

Данные	Номер предприятия
	1	2	3	4	5
Энерговооруженность труда 1 рабочего, квт.-ч.	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Выпуск готовой продукции на 1 рабочего, шт.	25	20	25	30	32

Вычислить уравнение корреляционной связи и построить график.

Решение: Предположим, что между энерговооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой:

у_х = а₀ + а₁х.

Факторным признаком является энерговооруженность труда, а результативным – выпуск готовой продукции.

Вычислим параметры прямой с помощью системы двух нормальных уравнений:

.

Для решения системы построим расчетную таблицу.

Таблица 10.5.

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

№ предприятия	Энерговооружен-ность труда на 1 рабочего, квт.-ч. х	Выпуск продукции на 1 рабочего, шт. у	ху	х^2	ух
1 2 3 4 5	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	25 20 25 30 32	25 30 50 75 96	1,0 2,25 4,0 6,25 9,0	21,6 24,0 26,4 28,8 31,2
Итого	10,0	132	276	22,5	132

Подставив в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы 10.5, получим:

+

Решим систему методом исключения, то есть умножим каждый член первого уравнения на (-2), получим:

+ .

2,5а₁ = 12

Уравнения сложим. Получили 2,5а₁ = 12, откуда

а₁ = = 4,8.

Подставим значение а₁ в первое уравнение и определим а_0.:

5а₀+48а₁ = 132 а₀ = = 16,8.