Тема 8. Индексы.

В этой теме рассматривается один из наиболее распространенных видов обобщающих показателей – индекс. Изучение следует начать с определения самого понятия «индекс» как показателя, характеризующего среднее изменение явления во времени или соотношения в пространстве.

Индекс – это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию.

Всякий индекс является относительной величиной, так как он получается путем сравнения двух абсолютных величин. Та величина, которую сравнивают, называют отчетной величиной, а та, с которой сравнивают – базисной.

Индексы могут быть выражены в коэффициентах и в процентах. Если индекс больше «1» или 100%, то уровень изучаемого явления растет. Если меньше «1» или 100%, то уровень явления снижается.

Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в статистико-экономическом анализе в теории статистики разработана определенная символика, применяются соответствующие условные обозначения.

Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:

q – количество продукции одного вида в натуральном выражении;

p – цена за единицу продукции;

z – себестоимость единицы продукции;

t – затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции.

Индексы по отдельным элементам изучаемого сложного экономического явления (индивидуальные индексы) обозначаются символом «i», у которого проставляется символ соответствующий индексируемой величины. Например:

i_q – индивидуальный индекс физического объема (продукции) отдельного вида продукции;

i_p – индивидуальный индекс цен на отдельный вид товара;

i_z – индивидуальный индекс себестоимости единицы отдельного вида продукции;

i_pq – индивидуальный индекс стоимости (или товарооборота) отдельного вида продукции;

i_zq – индивидуальный индекс затрат на выпуск одного вида продукции.

Общий индекс изучаемого сложного экономического явления обозначается символом «I», у которого отражается символ индексируемой величины. Например:

I_q – общий индекс физического объема продукции;

I_p – общий индекс цен;

I_z – общий индекс себестоимости;

I_pq – общий индекс стоимости всех видов товаров или индекс товарооборота в фактических ценах;

I_zq – общий индекс затрат на производство всех видов продукции.

Для отражения базисных периодов времени применяются специальные обозначения, которые пишутся в низу символа используемых при написании индекса величин. Базисный период, с данными которого производится сравнение, обозначается нулевым значением (0), первый отчетный период – единицей (1) и т.п.

Прежде, чем приступить к расчету индексов, студенты должны хорошо усвоить классификацию индексов:

1. В зависимости от объектов исследования индексы делятся на:

а) индексы объемных показателей,

например, индекс физического объема проданной продукции (I_q):

I_q=,

где q₁ – количество проданной продукции в отчетном периоде;

q₀ – количество проданной продукции в базисном периоде;

p₀ – цена единицы продукции базисного периода.

б) индексы качественных показателей,

например, индекс цен (I_p) или индекс себестоимости (I_z):

I_p=; I_z=,

где p₁ – цена единицы продукции отчетного периода;

p₀ – цена единицы продукции базисного периода;

z₁ – себестоимость единицы произведенной продукции отчетного периода;

z₀ – себестоимость единицы произведенной продукции базисного периода;

q₁ – количество проданной (произведенной) продукции отчетного периода.

2. С точки зрения охвата элементов совокупности индексы делятся:

а) индивидуальные;

б) общие, которые в свою очередь делятся на

• агрегатные;

• средние из индивидуальных;

в) групповые.

Индивидуальные индексы дают сравнительную характеристику отдельным элементам изучаемой совокупности.

Например, индивидуальный индекс цен (i_p) показывает, как изменилась цена в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом только по одному наименованию товара:

i_p = ,

или индивидуальный индекс физического объема товарооборота (i_q) характеризует, как изменился объем продаж в отчетном периоде по сравнению с базисным только на один из видов товаров:

i_q = ,

или индивидуальный индекс себестоимости (i_z) характеризует изменение себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным только по одному виду произведенной продукции:

i_z = .

Общие индексы характеризуют изменение совокупности в целом.

Например, общий индекс цен (I_p) характеризует изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным на все товары:

I_p = ,

или общий индекс физического объема товарооборота (I_q) показывает изменение объема продажи в отчетном периоде по сравнению с базисным по всем товарам:

I_q = .

Групповые индексы показывают изменение не всей совокупности, а только ее части. Например, индекс по продовольственным товарам или по непродовольственным.

3. С точки зрения методологии расчета индексы делятся на:

а) цепные;

б) базисные.

Например,

I_p = ,

базисный индекс цен с постоянным весом;

I_p = ,

цепной индекс цен с постоянным весом.

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. В результате преобразования агрегатных индексов получают средние из индивидуальных.

Чтобы рассчитать общий индекс, характеризующий изменение совокупности в целом, нужно проводить нессуммарность отдельных элементов изучаемой совокупности. С этой целью в индекс вводят дополнительный показатель, который выступает в виде его веса.

Например, чтобы при сравнении цен на разные товары проводить их нессуммарность, в индекс вводится количество проданных товаров, которые являются неизменными как для отчетного периода, так и для базисного и выступает в индексе в виде его веса.

Произведение количеств товаров на их цены образуют стоимость товаров, которую можно сравнивать. Так как в индексе цен количество товаров берется неизменным, как для отчетного, так и для базисного периодов, исключается влияние на стоимость товаров количества товаров. И в индексе сравниваются только цены.

Агрегатным называется индекс, когда в числителе и знаменателе индексного отношения будут суммы произведений индексируемых единиц на их веса.

Рассмотрим расчет агрегатных индексов на примере.

Пример 1. Имеются следующие данные о проданных товарах:

Товар	Единицы измерения	Количество проданного товара за период, тыс. ед.		Цена за единицу товара в период, руб.
		базисный	отчетный	базисный	отчетный
А Б	кг л	35 50	40 47	28 8	42 10

Определить:

1. Индивидуальные индексы цен и физического объема товарооборота.

2. Агрегатные индексы:

а) цен;

б) физического объема товарооборота;

в) индекс товарооборота в фактических ценах.

3. Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения:

а) цен;

б) количества проданного товара;

в) за счет цен и количества вместе.

4. Показать взаимосвязь 3 исчисленных общих индексов.

Решение:

1. Определим индивидуальные индексы:

По товару А

i_p = = = 1,5 или 150,0%,

цены на товар А выросли в отчетном году на 50%;

i_q = = = 1,143 или 114,3%,

объем продаж по товару А увеличился на 14,3%.

По товару Б

i_p = = = 1,25 или 125,0%,

цены на товар Б выросли в отчетном периоде на 25%;

i_q = = = 0,94 или 94,0%,

товара Б было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 6% меньше.

2. а) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:

• в отчетном периоде в ценах базисного периода и произведения сложим:

= + = 1496 (тыс. руб.),

• в базисном периоде в ценах базисного периода и произведения сложим:

= = 1380 (тыс. руб.).

Отношение стоимости товаров, проданных в отчетном периоде к стоимости товаров, проданных в базисном периоде дает агрегатный индекс физического объема товарооборота:

I_q = = = 1,084 или 108,4%,

то есть объем продаж товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом увеличился в целом на 8,4%.

Разность между числителем и знаменателем индекса физического объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных ценах:

Δpq(q) = –= 1496-1380 = 116 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет увеличения количества проданного товара на 8,4% составил 116 тыс. руб.

б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:

I_p = = = = 1,437 или 143,7%.

В целом цены на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом выросли на 43,7%.

Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:

Δpq(p) = –= 2150-1496 = 654 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 654 тыс. рублей за счет увеличения цен на 43,7%.

в) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:

I_pq = = = = 1,558 или 155,8%.

Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 55,8%.

Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:

Δpq = –= 2150-1380 = 770 (тыс. руб.).

Индексный метод широко применяется для анализа влияния отдельных факторов на динамику изучаемого явления. Например, на динамику товарооборота в фактических ценах оказывает влияние как изменение цен на товары, так и изменение количества проданных товаров.

Связь между изменениями объема товарооборота, количеством продажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:

=

= I_pq ,

тогда в нашем примере:

=1,558.

Произведение двух индексов () дает нам показатель динамики товарооборота в фактических ценах (I_pq), то есть за счет роста цен на 43,7% и увеличения объема продаж на 8,4%, товарооборот увеличился в отчетном году на 55,8%.

Если посмотреть в абсолютной сумме увеличения товарооборота, то очевидно, что за счет роста цен товарооборот увеличился на 654 тыс. рублей, за счет увеличения объема продаж на 116 тыс. руб., а в целом за счет цен и количеств на 770 тыс. рублей.

Путем преобразования агрегатных индексов получают средние из индивидуальных. При исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Например, рассмотрим, как производится преобразование агрегатного индекса физического объема товарооборота в индекс среднеарифметический.

Исходной формой возьмем агрегатный индекс физического объема товарооборота

I_q = .

Для преобразования агрегатного индекса в индекс среднеарифметический воспользуемся индивидуальным индексом физического объема товарооборота

i_q = ,

из этой формулы q₁ = i_q q₀, подставив значение q₁ в формулу агрегатного индекса, получим:

_q = .

В таком виде индекс физического объема товарооборота выступает как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов, взвешенная по стоимости продукции базисного периода в измененных базисных ценах. Причем только при этой системе весов средний арифметический индекс физического объема товарооборота будет тождественен агрегатному индексу физического объема товарооборота и даст тот же количественный результат.

Пример 2. По данным примера 1.

Товар	Стоимость товара в базисном периоде, тыс. руб.	Индивидуальный индекс физического объема, т/об
А Б	980 400	1,143 0,94

Определить общий индекс физического объема товарооборота.

Решение:

_q = = = = 1,084 или 108,4%,

то есть получили тот же количественный результат, что и у агрегатного индекса.

Если для расчета агрегатного индекса физического объема товарооборота необходимо иметь данные о количестве продукции, проданной в отчетном и базовом периодах, и данные о ценах базисного периода, то для расчета среднеарифметического индекса физического объема товарооборота необходимо иметь данные об индивидуальных индексах объема и данные о стоимости продукции базисного периода.

Агрегатный индекс может быть преобразован не только в индекс среднеарифметический, но и в индекс среднегармонический.

Рассмотрим на примере индекса цен. Исходная форма агрегатного индекса цен:

I_p = .

Для преобразования воспользуемся индивидуальным индексом цен

i_p = ,

откуда выразим p₀ = = .

Подставив значение p₀ в формулу агрегатного индекса цен, получим:

_p =

В таком виде индекс цен выступает как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов, взвешенная по стоимости продукции отчетного периода. Причем только при такой системе весов среднегармонический индекс цен будет тождественен агрегатному и даст тот же количественный результат.

Пример 3. По данным примера 1.

Товар	Стоимость товара в отчетном периоде, тыс. руб.	Индивидуальный индекс цен
А Б	1680 470	1,5 1,25

Определить общий индекс цен.

Решение: Воспользуемся среднегармоническим индексом цен:

_p = = = = 1,437 или 143,7%.

Получим тот же количественный результат, что и при расчете агрегатного индекса цен.

Если для расчета агрегатного индекса цен необходимы данные о ценах отчетного и базисного периодов, данные о количестве проданной продукции в отчетном периоде, то для расчета среднегармонического индекса цен нужны данные об индивидуальных индексах цен и достаточно иметь сведения о фактическом объеме товарооборота за отчетный период.

Индексный метод широко применяется также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осередняемого) показателя.

Индекс переменного состава для любых качественных показателей имеет следующий вид:

= = :.

Величина этого индекса характеризует изменение средневзвешенной величины за счет влияния двух факторов:

1. изменения осередняемого показателя у отдельных единиц совокупности;

2. изменения структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (при постоянной структуре). В общем виде он может быть записан следующим образом:

I_х = :.

Для расчета индекса постоянного состава можно использовать агрегатную форму индекса:

I_х = .

Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у отдельных единиц совокупности.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя и рассчитывается по формуле:

I_стр. = :

Под структурными изменениями понимается изменение удельного веса отдельных групп единиц совокупности в общей их численности.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего уровня качественного показателя имеет вид:

=

или : = :

индекс индекс индекс

переменного = постоянного структурных

состава состава сдвигов

Пример 4. Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими данными:

№ завода	Вид продукции	Выработано продукции за период, тыс. ед.		Себестоимость единицы продукции (за период), руб.
		базисный	отчетный	базисный	отчетный
1 2	ВН – 25 ВН – 25	8,6 7,8	8,2 8,4	160 140	180 160

На основании имеющихся данных вычислите:

1. индекс себестоимости переменного состава;

2. индекс себестоимости постоянного состава;

3. индекс изменения структуры.

Покажите взаимосвязь трех исчисленных индексов.

Решение:

1. Индекс себестоимости переменного состава определим по следующей формуле:

==:

или =:==1,129 или 112,9%.

Средняя себестоимость единицы продукции по двум заводам возросла на 12,9%.

2. Индекс постоянного состава определим по агрегатному индексу себестоимости:

I_z = ,

или I_z ===1,134 или 113,4%.

Это означает, что в среднем по двум заводам себестоимость единицы повысилась на 13,4%.

3. Индекс структурных сдвигов определим по формуле:

I_стр = :

или I_стр = :==0,996 или 99,6%

Средняя себестоимость единицы по двум заводам снизилась на 0,4% за счет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.

4. Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:

= или 1,129 = .

Общий вывод: Если бы происшедшие изменения себестоимости продукции не сопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум заводам выросла бы на 13,4%. Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвало снижение себестоимости на 0,4%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю себестоимость продукции по двум заводам на 12,9%.

С точки зрения методологии расчета индексы бывают цепные и базисные, которые в свою очередь могут быть с постоянными и переменными весами.

Цепные индексы получают путем сопоставления показателя рассматриваемого периода с показателем предшествующего периода.

Например: Цепные агрегатные индексы физического объема продукции с постоянными весами:

I_q1 = ; I_q2= и т.д. I_qn= .

Цепные агрегатные индексы физического объема продукции с переменными весами:

I_q1 = ; I_q2= и т.д. I_qn= .

Цепные агрегатные индексы цен с постоянными весами:

I_p1 = ; I_p2 = и т.д. I_pn = .

Цепные агрегатные индексы цен с переменными весами:

I_p1 = ; I_p2 = и т.д. I_pn = .

Базисные индексы получают сравнением показателя рассматриваемого периода с показателем какого-нибудь одного периода, принятого за базу сравнения.

Например: Базисные агрегатные индексы физического объема с постоянными весами:

I_q1 = ; I_q2= и т.д. I_qn= .

Базисные агрегатные индексы физического объема с переменными весами:

I_q1 = ; I_q2= и т.д. I_qn= .

Базисные агрегатные индексы цен с постоянными весами:

I_p1 = ; I_p2 = и т.д. I_pn = .

Базисные агрегатные индексы цен с переменными весами:

I_p1 = ; I_p2 = и т.д. I_pn = .

Между цепными и базисными индексами, построенными на основе постоянных весов, существует взаимосвязь, то есть от цепных индексов можно перейти к базисным и наоборот, пользуясь двумя правилами:

1. произведение цепных индексов равно конечному базисному.

Например. Рассмотрим на примере общего индекса цен:

=.

2. частное от деления двух смежных базисных индексов равно промежуточному цепному.

Например: Рассмотрим на примере общего индекса физического объема продукции:

:==.