Тема 5. Средние величины.

При изучении данной темы следует обратить внимание на следующие вопросы: сущность и значение средних величин, их виды, способы вычисления и условия применения.

Средняя – это обобщающая количественная характеристика совокупности единиц однотипных явлений по какому-либо признаку. Отличительной чертой средних величин является то, что в них взаимно погашаются индивидуальные различия признака.

В зависимости от характера изучаемых явлений, конкретных задач и целей статистического исследования могут применяться различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая и структурные средние (мода, медиана). Выбор вида средних зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда отдельные значения признака (каждый вариант) не повторяются в совокупности несколько раз (встречаются один раз). Они исчисляются по формуле:

= ,

где х – индивидуальные значения признака (вариант);

– среднее значение признака;

n – число значений признака.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,6; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3 тыс. руб. Определить средний доход банка по данной операции.

Решение: Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами определим по средней арифметической простой:

= = = 0,92 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в совокупности несколько раз. Она исчисляется по формуле:

= ,

где f – частота (как часто встречается каждый вариант).

Пример 2. В трех партиях изделий с количеством 1200, 1800, 2400 штук обнаружен следующий процент брака:

первая партия – 2,5%

вторая партия – 1,8%

третья партия – 0,5%.

Требуется определить средний процент брака.

Решение: Доля брака представляет собой отношение числа бракованных изделий ко всей партии изделий. Процент брака обозначим через х, число изделий в партии через f. Если процент брака (х) умножим на число изделий (f), то получим число бракованных изделий во всей партии. Значит, следует применять формулу средней арифметической взвешенной.

Подставляя значения в формулу, получим:

= = = 1,38%.

Следовательно, средний процент брака составляет 1,38%.

Наряду со средней арифметической применяется в статистической практике обратная ей величина – это средняя гармоническая, которая тоже может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда объем признака w=1, то есть x f – величина постоянная (x f = const). Исчисляется по формуле:

= ,

где x – отдельные значения признака;

– среднее значение признака;

n – число признаков.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в том случае, когда не известна численность совокупности (f) и варианты (х) приходится взвешивать по объему признака (w).

Средняя гармоническая взвешенная исчисляется по формуле:

= ,

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.

Пример 3. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

№ банка	Средняя процентная ставка, %	Доход банка, тыс. руб.
1	32	750
2	40	1200
3	38	800

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение: Основой выбора вида средней является реальное содержание определяемого показателя:

процентная ставка = .

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах (f). Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (w) на процентную ставку (х). Средняя процентная ставка будет равна:

= = = = 0,37 или 37,0%.

Особыми статистическими характеристиками являются структурные средние (мода, медиана).

Модой называется величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности.

В дискретном вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте.

В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

Мо = x_Мо+i_Мо ,

где x_Мо – начальное значение модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример 4. Имеются данные о выполнении норм выработки работниками предприятия:

Группы работников по выполнению норм выработки, %	Число работников
80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140	3 7 22 48 16 4
Итого	100

Определить модальную норму выработки.

Решение: Прежде всего определяем модальный интервал. Наибольшей частоте соответствует модальный интервал. Наибольшее число работников 48 человек выполняют норму выработки в интервале 110-120 (%), который и является модальным интервалом:

Мо = 110+10 = 114,5 (%).

Большинство работников на предприятии выполняют норму выработки на 114,5%.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда, то есть делит ряд пополам.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности:

Ме = +.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

Ме = x_Ме+i_{Ме ,}

где x_Ме – начальное значение медиального интервала;

i_Ме – величина медиального интервала;

– половина суммы частот;

S_(Ме-1) – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Медианным интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Комулятивная частота образуется путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Пример 5. По данным примера 4 рассчитать медиану.

Решение: Определяем медианный интервал. Для этого подсчитаем сумму частот – 100, половинка суммы (100:2) = 50, то есть комулятивная частота не должна быть ниже 50 (чел.).

Образуем комулятивную частоту, накапливая частоты от интервала 80-90 (3+7+22+48=80). Значит, медиальный интервал будет от 110 до 120, где находится медиана:

Ме = 110+10 = 113,8 (%).

Из расчета видно, что половина работников выполняют норму выработки до 113,8%, а половина выше 113,8%. То есть норма выработки 113,8% делит ряд пополам.

Виды средних: средняя хронологическая; средняя геометрическая – смотрите в теме 7 «Ряды динамики».