|
Санкт-петербургский государственный политехнический университет кафедра высшей математики
А.П. Потапов |
|
М А Т Е М А Т И К А |
|
Линейная алгебра и аналитическая геометрия |
|
|
|
|
|
|
Часть 1. Линейная и векторная алгебра
Глава 1. Линейная алгебра
Глава 2. Векторная алгебра
Часть 2. Аналитическая геометрия
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Учебное пособие
2011 год
Настоящее учебное пособие ориентировано на студентов технических направлений бакалавриата. Оно соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам.
Пособие включает в себя следующие разделы: линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия. Каждый из этих разделов содержит:
- краткий теоретический материал с разбором типовых задач и примеров;
- набор задач для самостоятельного решения;
- набор дополнительных задач повышенной сложности;
- ответы ко всем приведенным задачам;
- вопросы к коллоквиуму.
Пособие может быть использовано преподавателями и студентами на практических занятиях по Высшей математике, а также студентами при самостоятельной работе.
Список литературы
1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Линейная алгебра, учебник
2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия, учебник
3. А.В. Ефимов, А.С. Поспелов, Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов, часть 1, М. Физмат, 2004
4. Н.И. Лобкова, Ю.Д. Максимов, Ю.А. Хватов, Математика, том 1, изд-во Политехнического университета, 2007
5. Н.И. Лобкова, М.В. Лагунова, В.М. Семенов, Математика, выпуск 1, Основы линейной алгебры и аналитической геометрии, Опорный конспект, изд-во Политехнического университета, 2005
Ч а с т ь 1
Глава 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
Тема 1. Определители.
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка.
§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
§ 5. Определители 4-го порядка.
§ 6. Определители n-го порядка.
Задачи по теме 1.
Тема 2. Матрицы.
§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
§ 3. Умножение матриц и его свойства.
§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
§ 5. Ранг матрицы.
Задачи по теме 2.
Тема 3. Системы линейных уравнений.
§ 1. Основные понятия.
§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
Задачи по теме 3.
Ответы к задачам.
1.
О П Р Е Д Е
Л И Т Е Л И
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка.
A
=
- матрица 2-го порядка;
- элементы матрицы (i
= 1,2; j = 1,2).
Определитель
2-го порядка: det
A =
=
−
.
Правило:
(+) (−)
Пример.
= 2(-3) − 14
= -6 - 4 = - 10
A
=
- матрица 3-го порядка,
- элементы матрицы (i
= 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).
Определитель
3-го порядка: det A
=
=
=
+
+
−
−
−
Правило:
(+) (−)
Пример.
=
+
+
−
−
−
=
=
-
+
−
−
−
= −
§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
1. Определитель не изменится, если все строки определителя заменить соответствующими столбцами или наоборот: все столбцы определителя заменить соответствующими строками. (Такое действие над строками и столбцами называется транспонированием матрицы).
=
2. При перестановке двух каких-либо строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
= −
3. Общий множитель некоторой строки
(или некоторого столбца) можно вынести
за «знак» определителя. (Под «знаком»
определителя понимается не знаки «+»
или «-», а обозначения определителя:
«det» или «
»).
= λ
4. Определитель, имеющий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.
= 0
5. Определитель, имеющий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю.
= 0
6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю.
= 0
7. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей следующего вида:
=
+
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на любое число.
=
9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
=
=
§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
A
=
Mij
- минор элемента
- это определитель матрицы 2-го
порядка, полученной из данной матрицы
3-го порядка путем вычеркивания i
-той строки и j - того
столбца:
M11
=
M12
=
M13
=
M21
=
M22
=
M23
=
M31
=
M32
=
M33
=
Aij
- алгебраическое дополнение
элемента
:
A11 = M11 A12 = - M12 A13 = M13
A21 = - M21 A22 = M22 A23 = - M23
A31 = M31 A32 = - M32 A33 = M13
Правило
(выбора знака):
Пример.
A =
A11
=
= - 4 A12
= -
= - 8 A13
=
= - 10
A21
= -
= 3 A22
=
= 6 A23
= -
= - 5
A31
=
= 23 A32
= -
= - 4 A33
=
= - 5