- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
1. Δ = -7 Δ1 = -7 Δ2 = 14
2. Δ = 3 Δ1 = -3 Δ2 = 9
3. Δ = 5 Δ1 = 10 Δ2 = - 5 Δ3 = -15
4. Δ = -18 Δ1 = 0 Δ2 = 18 Δ3 = -36
5. Δ = 20 Δ1 = -40 Δ2 = -20 Δ3 = 20
6. Δ = 5 Δ1 = 5 Δ2 = 15 Δ3 = 10
1. X = = 2. X = =
3. X = = 4. X = =
5. X = = 6. X = =
Обозначения:
n - число неизвестных; r - ранг основной матрицы; r1 - ранг расширенной матрицы.
1. n = 3; r = 3; r1 = 3 X = 2. n = 3; r = 2; r1 = 3
3. n = 4; r = 2; r1 = 2; n - r = 2 X = c1 + c2 + ;
4. n = 4; r = 2; r1 = 2; n - r = 2 X = c1 + c2 + ;
5. n = 4; r = 2; r1 = 3
6. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X = c1 + c2 + c3 + ;
7. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X = c1 + c2 + c3 + ;
8. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X = c1 + c2 + c3 + ;
1. X = c; ФСР: 2. X = c1 + c2; ФСР:
3. X = ; ФСР: 4. X = c; ФСР:
5. X = c1 + c2; ФСР:
6. X = c1 + c2 + c3; ФСР:
Дополнительные задачи.
1. P (x) = x2 - 5x + 3 2. P (x) = ax2 + bx + c, a = , b = , c = , где = =
= ( )( )( ), 1 = , 2 = , 3 =
3. Если λ = 0, то система совместная и неопределенная (r = 2, n - r = 2); если λ ≠ 0, то система несовместная.
4. Если λ ≠ 1 и λ ≠ -3, то система совместная и определенная; если λ = 1, то система совместная и неопределенная (r = 1, n - r = 3); если λ = -3, то система несовместная.
5. Если λ ≠ 8, то система совместная и неопределенная (r = 3, n - r = 1); если λ = 8, то система совместная и неопределенная (r = 2, n - r = 2).
6. Если λ ≠ 0 и λ ≠ -3, то система совместная и определенная; если λ = 0, то система совместная и неопределенная (r = 1, n - r = 2); если λ = -3, то система несовместная.
7. a = -1 8. a1 = 2, a2 = - 4
9. ФСР: 10. ФСР:
11. X = c + 12. X = c1 + c2 +
Глава 2. В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
Тема 1. Линейные действия с векторами.
§ 1. Основные понятия.
§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
§ 4. Разложение вектора по базису.
Задачи по теме 1.
Тема 2. Умножение векторов.
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Задачи по теме 2.
Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.
§ 1. Основные понятия.
§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
Задачи по теме 3.
Тема 4. Геометрические задачи.
§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
§ 3. Вычисление площадей и объемов
Задачи по теме 4.
Ответы к задачам.
1. Линейные действия с векторами.
§ 1. Основные понятия.
B
Вектор - это направленный отрезок.
A
Обозначения: или (точка - начало вектора, точка - конец вектора).
Модуль (длина) вектора - это длина направленного отрезка: = .
- нулевой вектор - вектор, у которого начало и конец совпадают (A B).
Модуль нулевого вектора равен нулю: = 0.
Векторы , , …, - называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Обозначение:
Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными или противоположно направленными:
Векторы , , …, - называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Вектор, коллинеарный данному вектору , одинаково направленный с ним и имеющий единичную длину, называется ортом вектора и обозначается :
- орт вектора
Противоположный вектор - это вектор, коллинеарный данному вектору , противоположно направленный с ним и имеющий ту же длину. Обозначение: - .
вектор, противоположный вектору :
-
Равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули:
=
Угол между векторами.
Угол между двумя векторами - это угол между лучами, на которых лежат эти векторы и направления которых совпадают с направлениями этих векторов:
Угол между двумя векторами может принимать значения от 0 до : 0 .
Векторы называются ортогональными, если угол между ними - прямой.