Тема 4. Геометрические задачи
1. M (2; -1; 4) 2. B (-10; 3; 1) 3. A (2; -3; 0) 4. M (2; -4; 3) 5. B (-2; 6; -1) 6. A (-8; -4; -11)
7. M (1; -2; 6) 8. B (6; -13; -2) 9. A (2; 4; -7) 10. M (3; -2; 4) 11. B (10; -7; -13) 12. A (-7; 7; -6)
1.
=
, a
=
, b
=
c
=
,
A =
,
B =
C =
2.
= 42
, a
= 5
, b
= 17,
c
= 13,
A = arccos
,
B =
- arccos
,
C =
3.
=
, a
=
, b
=
c
= 3,
A =
- arccos
,
B =
C = arccos
4.
=
, a
= b
=
c
=
,
A =
B =
C =
5.
=
, a
=
, b
= 3,
c
=
,
A =
,
B = arccos
C =
arccos
6.
=
, a
= 6
, b
= 3,
c
= 13,
A = arccos
,
B = arccos
,
C =
- arccos
7.
= 7
, a
= 2
, b
= 17,
c
= 3,
A = arccos
,
B =
- arccos
,
C = arccos
8.
= 5
, a
= 3 ,
b
= 2
,
c
= 25,
A = arccos
,
B = arccos
,
C =
- arccos
1.
V = 34;
S = 14; H
= 7
2.
V = 18
;
S = 14; H
= 4 3.
V = 83
;
S = 25
;
H = 5
4.
V =12; S
= 6
;
H =2
5.
V =11; S
=
;
H =
6.
V = 12
;
S = 3
;
H =
7.
V
= 26
;
S = 8
;
H =
8.
V =23
;
S =
;
H =2
1.
О(-
;
4); S
= 24; a
= 3
b
= 10
c
= 5; r
= 2(5 -
)
1,75
R
=
6,44
A =
- arccos
106,26
B = arccos
50,91
C = arccos
22,83
;
mA
=
mB
= 8 mC
=
;
hA
=
hB
= 4
hC
= 9
;
M (-2;5)
lA
=
= 4
2.
О(-1
;
-2
);
S =
25; a
= 5
b
= 10
c
= 5; r
=
1,91
R
=
5,59
A = 90
B = arccos
63,43
C = arccos
26,57
;
mA
=
mB
= 5
mC
=
;
hA
= 2
hB
= 5 hC
= 10;
M (-2
;
-3
)
lA
=
=
3.
О(5
;
-
);
S =
28; a
= 2
b
= 13
c
= 5; r
=
1,64
R
=
9,36
A =
- arccos
120,51
B = arccos
44
C = arccos
15,49
;
mA
= 4
mB
=
mC
=
;
hA
=
hB
= 4
hC
= 11
;
M (6
;
1
)
lA
=
=
4.
О(1
;
-1); S
= 63; a
= 3
b
= 13
c
= 10; r
=
3,05
R
=
9,41
A =
- arccos
104,25
B = arccos
43,67
C = arccos
32,08
;
mA
=
mB
=
mC
=
;
hA
=
hB
= 9
hC
= 12
;
M (3
;
-
)
lA
=
=
5.
О(-2
;
7
);
S =
16; a
= 13
b
=
c
= 10; r
=
1,18
R
=
8,38
A =
- arccos
129,09
B = arccos
14,25
C = arccos
36,66
;
mA
=
mB
=
mC
= 2
;
hA
= 2
hB
=
hC
= 3
;
M (
;
5
)
lB
=
=
6.
О(-2
;
-2
);
S = 7;
a
= 5
b
=
c
= 10; r
=
0,69
R
=
9,62
A = arccos
15,07
B = arccos
16,26
C =
- arccos
148,67
;
mA
=
mB
=
mC
=
;
hA
= 2
hB
=
hC
= 1
;
M (-1
;
-1
)
lB
=
=
7.
О(8;
1); S
= 24; a
= 5
b
=
c
= 10; r
=
1,93
R
=
5,13
A = arccos
29,17
B = arccos
73,74
C = arccos
77,09
;
mA
=
mB
=
mC
= 6;
hA
= 9
hB
=
hC
= 4
;
M (9;
-
)
lB
=
= 5
8.
О(-1
;
-1); S
= 33; a
= 13
b
= 3
c
= 10; r
=
2,22
R
=
6,61
A =
- arccos
100,3
B = arccos
30,51
C = arccos
49,19
;
mA
= 5
mB
=
mC
=
;
hA
= 5
hB
=
hC
= 6
;
M (
;
1
)
lB
=
=
Дополнительные задачи.
1. M
(1
; 1
; 2
) 2.
3.
4. S =
=
=
=
=
=
В О П Р О СЫ К К О Л Л О К В И У М У
Линейная алгебра
1. Определители матриц 2-го и 3-го порядков, их свойства.
2. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы 3-го порядка.
Теорема разложения.
3. Определители 4-го порядка, их свойства и вычисление.
4. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление.
5. Матрицы, виды матриц, равенство матриц. Линейные действия с матрицами и их свойства.
6. Умножение матриц и его свойства. Определитель произведения матриц.
7. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Обратная
матрица для матрицы 2-го порядка.
8. Существование обратной матрицы для невырожденных матриц. Вычисление обратной матрицы
через присоединенную матрицу.
9. Понятие ранга матрицы. Ранг ступенчатой матрицы.
10. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы.
11. Системы линейных уравнений. Основные понятия: решение системы, совместность,
определенность, равносильность систем. Элементарные преобразования системы.
12. Решение систем линейных уравнений 2-го и 3-го порядков по формулам Крамера.
13. Теорема Крамера для систем линейных уравнений n-го порядка.
14. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
15. Исследование произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.
16. Базисный минор, базисные строки и столбцы, базисные и свободные переменные системы
линейных уравнений.
17. Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса.
18. Однородные системы линейных уравнений. Условие существования ненулевого решения.
19. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение.
Фундаментальная система решений.
20. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
Векторная алгебра
1. Векторы. Модуль вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов.
Противоположный вектор. Угол между векторами. Ортогональные векторы.
2. Линейные действия с векторами и их свойства
3. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Необходимое и достаточное
условие компланарности векторов.
4. Линейные векторные пространства. Понятие базиса. Пространства V1, V2, V3.
6. Разложение вектора по базису. Координаты вектора относительно базиса.
7. Линейные действия с векторами в координатах. Необходимое и достаточное условие
коллинеарности и компланарности векторов в координатной форме.
8. Проекция вектора на ось и ее свойства.
9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Геометрический и физический смысл.
10. Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический и физический смысл.
11. Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл.
12. Ортонормированный базис. Координаты вектора в ортонормированном базисе. Прямоугольная
декартова система координат. Координаты точки.
13. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе. Необходимое и достаточное
условие коллинеарности векторов в координатной форме.
14. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
15. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов, выраженные в
координатах относительно ортонормированного базиса.
16. Вычисление модуля, направляющих cos–ов вектора и проекций одного вектора на другой в
прямоугольной декартовой системе координат.
17. Координаты вектора, заданного координатами начала и конца вектора в прямоугольной
декартовой системе координат. Деление отрезка в данном отношении.
18. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между векторами в прямоугольной
декартовой системе координат.
19. Вычисление площадей и объемов в прямоугольной декартовой системе координат.
20. Геометрический смысл определителей 2-го и 3-го порядков.