- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
Пусть , , …, - фиксированный набор векторов.
Линейной комбинацией векторов , , …, - называется любой вектор вида
𝛌1+ 𝛌2 + …+ 𝛌n, где 𝛌1, 𝛌2, … , 𝛌n - некоторые действительные числа.
Множество всевозможных линейных комбинаций заданного набора векторов называется
линейным векторным пространством, натянутым на этот набор:
- линейное векторное пространство, натянутое на , , …, .
Примеры (линейных векторных пространств).
1). Дана некоторая прямая L. Пусть V1 - множество всех векторов , лежащих на прямой L или
Параллельных этой прямой.
V1 :
Пусть - любой ненулевой вектор множества V1. Тогда
V1 = λ
Таким образом, множество V1 есть линейное векторное пространство, натянутое на вектор :
V1 =
Вектор называется базисом пространства V1.
2). Дана некоторая плоскость . Пусть V2 - множество всех векторов , лежащих в плоскости
или в параллельных ей плоскостях.
V2 :
Пусть , - любые неколлинеарные векторы из множества V2. Тогда
V2 = λ1+ λ2
Таким образом, V2 есть линейное векторное пространство, натянутое на векторы , :
V2 =
Векторы , называются базисом пространства V2.
3). Пусть V3 - множество всех векторов в пространстве.
V3 :
Пусть , , - любые некомпланарные векторы в пространстве. Тогда:
V3 = λ1 + λ2 + λ3
Таким образом, V3 есть линейное векторное пространство, натянутое на векторы , ,:
V3 =
Векторы , , называются базисом пространства V3.
Ортогональный базис.
Базис, состоящий из ортогональных векторов, называется ортогональным базисом.
- ортогональный базис на плоскости:
- ортогональный базис в пространстве:
, ,
Ортонормированный базис (о.н.б.)
Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным базисом.
Обозначения: - О.Н.Б. на плоскости; - О.Н.Б. в пространстве.
- ортонормированный базис (О.Н.Б.) на плоскости:
, = = 1
- ортонормированный базис (О.Н.Б.) в пространстве:
, , , = = = 1