- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A =
det A = + + - разложение по 1-й строке;
det A = + + - разложение по 2-й строке;
det A = + + - разложение по 3-й строке;
det A = + + - разложение по 1-му столбцу;
det A = + + - разложение по 2-му столбцу;
det A = + + - разложение по 3-му столбцу.
Пример.
Вычислить определитель: det A =
а) путем разложения по строке или столбцу;
б) с использованием его свойств.
разложение по 1-й строке: det A = 1(-4) + 2(-8) + 3(-10) = -4 -16 -30 = -50;
разложение по 3-му столбцу: det A = 3(-10) + 4(-5) + 0(-5) = -30 -20 + 0 = -50.
с использованием его свойств:
det A = = =
= = = 1 + 0 + 0 = - 50
§ 5. Определители 4-го порядка.
A = - матрица 4 -го порядка; - элементы матрицы (i = 1, … , 4; j = 1, … ,4).
Mij - минор элемента - это определитель матрицы 3 -го порядка, полученной из данной матрицы 4 -го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:
M11 =
M23 =
M42 = и т.д.
Aij - алгебраическое дополнение элемента :
A11 = M11 , A23 = - M23 , A42 = M42 , A34 = - M34 и т.д.
Правило (выбора знака):
Пример. A =
A11 = = = 2 + 0 − 3 = −24 − 51 = −75
A23 = − = = − (0 − 1 + 0) = = 8 − 0 = 8
A34 = − = = − =
= = − =
= = − (0 − 0 + 1) = − = −24
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+ + + = + + + =
= + + + = + + + =
= + + + = + + + =
= + + + = + + +
Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A = = + + + , i = 1, 2, 3, 4
или:
det A = = + + + , j = 1, 2, 3, 4
Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков (свойства 1÷9).
Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.
Пример.
det A = = =
= = =
= = =0 + 0 + 0 + 1 =
= = =
= = =
= = = 0 + 1 + 0 =
= − = −(135 + 44) = −179.
§ 6. Определители n-го порядка.
A = - матрица n - го порядка, - элементы матрицы (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n).
Mij - минор элемента - это определитель матрицы (n - 1) - го порядка, полученной из данной матрицы n - го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца.
Aij - алгебраическое дополнение элемента .
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+ + … + = + + + , i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Определитель n - го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения:
det A = = + + … + = + + + ,
i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков (свойства 1÷9).
Пример. Вычислить определитель n -го порядка: det A = .
Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1):
det A = .
Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
det A = 1()() … () = ()() … ().
Пример. Вычислить определитель n -го порядка: det A = .
(Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1).
Все строки прибавим к первой строке:
det A =
Из первой строки вынесем общий множитель:
det A = ()
Вычтем первую строку из всех остальных строк:
det A = () = ().
Задачи по теме 1.
. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
. Вычислить определители 3-го порядка:
− № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу;
− № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
. Вычислить определители 4-го порядка.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен: P(λ) = и вычислить его корни.
2. Для матрицы A = вычислить: + + … + и
+ + + , где i ≠ j ( - алгебраическое дополнение элемента ).
Вычислить определители n -го порядка:
3. 4. 5.
6. 7.
8. 9.
10. 11. = min {i,j} 12. = max {i,j}
2. М А Т Р И Ц Ы