§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
1. Пусть даны координаты векторов
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
λ
;
+
;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда,
когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
2. Пусть даны координаты векторов
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда:
- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
- при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
λ
;
+
;
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда,
когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
Пусть даны координаты векторов
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда:
- скалярное произведение;
- векторное произведение.
Пусть даны координаты векторов
,
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
,
.
Тогда:
- смешанное произведение.
Если векторы
,
и
лежат на плоскости, то
,
,
и
- скалярное произведение,
-
векторное произведение,
- смешанное произведение.
Пример.
,
,
.
= -7;
=
+
= 2
+ 4
+
;
=
1
0
2
= 4
0
2 = 2.
Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Пусть даны координаты векторов
,
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
,
.
Тогда:
= 0
=
,
,
- компланарны
= 0
Пример.
Определить, при каких значениях λ
векторы
и
будут ортогональны, если
= 2
-
,
= 3
+ 2
,
а векторы
и
заданы своими координатами относительно
О.Н.Б.
{
}:
,
.
= 0 (2
-
)(3
+ 2
)
= 0 6
- 3
+ 4
- 2
= 0
4
+ 4
- 3
= 0;
= 11 +
+ 00 = 1 +
2;
=
+ 11 + (-1)(-1)
=
2
+ 2;
=
+
+ 0 = 2
;
4(1 +
2)
+ 8
- 3(
2
+ 2) = 0
2
+ 8
- 2 = 0
1,2
= - 4
3
.
Пример.
Определить, при каких значениях λ
векторы
,
и
будут компланарны, если
они
заданы своими координатами относительно
О.Н.Б. {
}:
,
,
.
,
,
- компланарны
= 0 3
= 0
2
-
- 2 = 0
1
= - 1,
2
= 2.