- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
Из свойства скалярного произведения: = - следует формула:
Пусть известны координаты вектора в О.Н.Б. { }: . Тогда = x2 + y2 + z2 и
Направляющие углы вектора - это углы, которые образует данный вектор с осями координат:
α = , β = , γ = .
Косинусы этих углов - направляющие косинусы данного вектора: cos α, cos , cos .
x = = cos α, y = = cos , z = = cos
Направляющие косинусы вектора являются координатами орта данного вектора:
=
Пример.
= = , ,
.
Из геометрического смысла скалярного произведения имеем:
= , = .
Пусть известны координаты векторов и в О.Н.Б. { }: , .
Тогда:
= , =
Пример.
, .
= = =
= = =
Задачи по теме 3.
. Построить вектор в прямоугольной декартовой системе координат и указать его направляющие углы. Найти модуль и направляющие cos-ы вектора .
1. 2. 3. 4.
5. 6 . 7. 8 .
9. 10. 11. 12.
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
и . Вычислить:
1) скалярное произведение
2) проекции ,
3) векторное произведение
4) площадь параллелограмма, построенного на этих векторах
1. , 2. , 3. ,
4. , 5. , 6. ,
7. , 8. , 9. ,
10. , 11. , 12. ,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
, , . Требуется:
1) вычислить смешанное произведение 2) определить ориентацию этих векторов
3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах
1. , , 2. , ,
3. , , 4. , ,
5. , , 6. , ,
7. , , 8. , ,
9. , , 10. , ,
11. , , 12. , ,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат. Векторы и
являются линейными комбинациями этих векторов. Определить:
- при каких значениях α и β векторы и будут коллинеарны (№ 1 ÷ 4)
- при каких значениях λ векторы и будут ортогональны (№ 5 ÷ 8)
- при каких значениях λ векторы , и будут компланарны (№ 9 ÷ 12)
1. = 2 + 4, = 3 - , ,
2. = + 2, = 3 - , ,
3. = 5 + 3, = 2 - , ,
4. = -2 + , = 3 - 2, ,
5. = - , = 4 + 2, ,
6. =3 - 2, = -2 + , ,
7. = 2 - , = - + 3, ,
8. = 2 - 3, = 2 + , ,
9. , ,
10. , ,
11. , ,
12. , ,
Дополнительные задачи.
1. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY параллельным переносом на вектор . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.
, M(x, y), M(x, y)
2. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY путем поворота осей на угол . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.
, M(x, y), M(x, y)
3. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат: , , . Найти координаты вектора , если известно, что = -5, = -11, = 20.
4. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат: , . Найти координаты вектора , если известно, что , , = 14.
4. Геометрические задачи.