§ 6. Однородные системы линейных уравнений.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение: X = .

Если rang A = n, то система имеет только нулевое решение.

Если rang A < n, то система имеет еще и ненулевые решения.

В случае, когда число уравнений системы равно числу неизвестных (m = n), эти условия означают следующее:

если det A ≠ 0, то система имеет только нулевое решение;

если det A = 0, то система имеет еще и ненулевые решения.

Общее решение однородной системы линейных уравнений имеет вид:

X = c₁ X₁ + c₂ X₂ + … + c _{n - r} X _{n - r} ,

где X₁, X₂, … , X _{n - r} - фундаментальная система решений (ФСР), c _i  произвольные числа, r = rang A.

Пример. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и сделать проверку.

Указать ФСР (фундаментальную систему решений).

Применим метод Гаусса. n = 5 - число неизвестных.

A =  [из 2-й строки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3; из 3-й

строки вычтем 1-ю строку; из 4-й строки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2] 

  [из 2-й и 3-й строки вычтем 4-ю строку, умноженную на 2] 

 [переставим 2-ю и 4-ю строку] 

 r = rang A = 2, n - r = 3.



, - базисные переменные, , , - свободные переменные.

= c₁, = c₂, = c₃, где c₁, c₂, c₃ - произвольные числа.

= 7c₁ - 25c₂ + 4c₃  = (7c₁ - 25c₂ + 4c₃).

Введем новые обозначения: С₁ = c₁, С₂ = c₂, С₃= c₃. Тогда получим:

= 8С ₁, =8С ₂, = 8С ₃, = 7С ₁ - 25С₂ + 4С₃,

= 5(7С ₁ - 25С₂ + 4С₃) - 28С ₁ + 168С ₂ - 38С ₃ = 19С ₁ + 3С₂ - 4С₃.

Общее решение: , С₁, С₂, С₃  R.

Проверка.

1-е уравнение:

() = -

= - верное равенство.

Аналогично проверяются остальные 3 равенства.

Общее решение: X = =  +  + ;

ФСР: .

Задачи по теме 3.

. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

. Решить системы линейных уравнений матричным способом.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

− исследовать систему по теореме Кронекера-Капелли;

− если система совместна, то найти общее решение в матричном виде и сделать проверку;

− если система совместна и неопределенна, то указать 3 частных решения в матричном виде.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

. Для однородной системы линейных уравнений найти общее решение в матричном виде и

сделать проверку. Указать фундаментальную систему решений.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Дополнительные задачи.

1. Найти многочлен P (x) 2-й степени, удовлетворяющий условиям: P (1) = -1, P (-1) = 9, P (2) = -3.

2. Найти многочлен P (x) степени не выше 2-х, удовлетворяющий условиям:

, где , , , , , - заданные числа (, , - различные числа).

Следующие системы линейных уравнений исследовать на совместность и определенность в зависимости от значений λ, указать число базисных переменных r и число свободных переменных n - r:

3. 4.

5. 6.

Определить значения a, при которых однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения:

7. 8.

Найти фундаментальную систему решений (ФСР) следующих однородных систем линейных уравнений:

9. 10.

Найти общее решение следующих систем линейных уравнений:

11. 12.

О Т В Е Т Ы К З А Д А Ч А М