§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
A
=
- квадратная матрица.
Матрица A-1 - называется обратной матрицей к матрице A, если выполняются равенства:
(E - единичная
матрица)
Теорема. Если A - невырожденная матрица, то существует единственная обратная матрица к матрице A, которая вычисляется по формуле:
(
- алгебраическое дополнение элемента
,
Δ = det A).
Матрица
называется присоединенной матрицей.
(Если A - вырожденная матрица, то обратная матрица не существует.)
Для матрицы 2-го порядка обратная матрица вычисляется особенно просто:
Пример.
A
=
A-1
=
=
Проверка:
=
=
= E
=
=
= E
Ответ:
A-1
=
Пример.
A
=
,
Δ =
= 1
− 0 −2
= − 4 − 2(8
+ 15) = - 50
A11
=
= - 4 A12
= -
= - 8 A13
=
= - 10
A21
= -
= 3 A22
=
= 6 A23
= -
= - 5
A31
=
= 23 A32
= -
= - 4 A33
=
= - 5
A-1
=
=
.
Проверка:
=
=
=
=
= E
=
=
=
= E
Ответ:
A-1
=
=
1.
(A-1)-1
= A
2.
(AT)-1
=
(A-1)T
3.
(λ A)-1
=
A-1
(λ
≠ 0)
4. (A B)-1 = B-1A-1 5. det (A-1) = (det A)-1
§ 5. Ранг матрицы.
A
=
- прямоугольная матрица размером m
n.
Пусть в матрице A выбраны произвольно k строк и k столбцов, где 1 k min {m,n}.
Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
порядка k. Определитель данной матрицы называется минором порядка k.
Наибольший порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A: r = rang A.
Ранг матрицы может принимать только целые неотрицательные значения.
Ранг нулевой
матрицы считается равным нулю: rang
= 0.
Для любой ненулевой матрицы A выполнено условие: 1 rang A min {m,n}.
Равенство: rang A = r - означает, во-первых, что все миноры порядка выше r равны нулю или не существуют и, во-вторых, что существует минор порядка r, отличный от нуля. Любой отличный от нуля минор порядка r, называется базисным минором.
Пример.
A =
.
Максимальный порядок миноров для этой
матрицы равен 2. Можно составить
всего три минора 2-го порядка:
= 0,
= 0,
= 0.
Так как все миноры 2-го порядка равны нулю, то rang A < 2.
Следовательно: rang A = 1.
Пример.
A
=
.
Максимальный порядок миноров для этой
матрицы равен 3. Можно составить
единственный
минор 3-го порядка:
= 0 (имеются пропорциональные столбцы).
Следовательно: rang A
< 3.
Среди
миноров 2-го порядка имеются базисные,
т.е. ненулевые, например:
≠ 0.
Поэтому rang A = 2.
Ступенчатая матрица.
Матрица
вида: A m,
n
=
,
где
≠ 0,
≠ 0,
… ,
≠ 0
- называется ступенчатой матрицей.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк: rang A = k.
Действительно, во-первых, существует базисный (ненулевой) минор k-го порядка:
=
… 
≠ 0;
во-вторых, все миноры порядка выше k
- либо не существуют, либо равны нулю
(так как содержат нулевую строку).
Пример.
A
=
rang
A = 3.
Элементарные преобразования матрицы:
- перестановка строк местами;
- умножение какой-нибудь строки на любое число, не равное нулю;
- сложение строк;
- перестановка столбцов местами.
Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.
Используя утверждение данной теоремы, можно вычислять ранг любой матрицы, приводя ее к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.
Пример.
A
=
[из 4-й строки вычтем
2-ю строку; из 3-й строки вычтем 1-ю строку]
[из 2-й строки вычтем 3-ю строку]
[из 3-й
строки вычтем 1-ю строку, умноженную на
2]
[к 3-й
строке прибавим 4-ю строку; 4-ю строку
разделим на 2]
[из 4-й
строки вычтем 2-ю строку]
[переставим столбцы
2 и 3,
затем
столбцы 3 и 4]
.
Получили ступенчатую матрицу с 3-мя
ненулевыми строками. Следовательно: rang A = 3.
Задачи по теме 2.
.
Выполнить действия над матрицами.
1.
(3A - 2B)C
= ? A =
,
B =
,
C =
2.
B(A
+ 3C) = ? A =
,
B=
,
C =
3.
A(2E
+ 3B) = ? A =
,
B =
4.
(2A - 3E)B
= ? A =
,
B =
5.
AB
- BA
= ? A =
,
B =
6.
f(A) = ? f(x) = 3x2
- 2x + 3, A =
7.
f(A) = ? f(x) = -2x2
+ 3x - 5, A =
8.
f(A) = ? f(x) = -2x2
- 3x + 2, A =
9.
f(A) = ? f(x) = 3x2
+ 2x - 4, A =
10.
f(A) = ? f(x) = 2x2
- 4x + 3, A =
. Найти обратную матрицу A-1 и сделать проверку.
1.
A =
2.
A =
3.
A =
4.
A =
5.
A =
6.
A =
7.
A =
8.
A =
. Найти ранг матрицы.
1.
A =
2.
A =
3.
A =
4.
A =
5.
A =
6.
A =
7.
A =
8.
A =
9.
A =
10.
A =
Дополнительные задачи.
Вычислить:
1.
2.
3.
Найти обратные матрицы для матрицы A n-го порядка:
4. A
=
5. A =
6. A
=
7. Составить многочлен: P (x) = det (A - xE) - и найти его корни, если
A
=
- заданная треугольная матрица, E
- единичная матрица порядка n.
8. Составить многочлен: P (λ) = det(A - λE) - и найти его корни, если
A
=
,
E - единичная
матрица 3-го порядка.
9. Найти
x из условия: A2
=
,
где A =
,
- нулевая матрица 2-го порядка.
10. Найти
все решения матричного уравнения: X
2 =
,
где X - матрица 2-го порядка.
11. Найти
x из условия: A2
= E, где A
=
,
E - единичная матрица 2-го порядка.
12. Найти все решения матричного уравнения: X 2 = E, где X - матрица 2-го порядка.
3.
С И С Т Е
М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й