- •§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
- •§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
- •§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
- •§ 5. Определители 4-го порядка.
- •§ 6. Определители n-го порядка.
- •§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
- •§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
- •§ 3. Умножение матриц и его свойства.
- •§ 4. Обратная матрица и ее свойства.
- •§ 5. Ранг матрицы.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
- •§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
- •§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
- •§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
- •Тема 1. О п р е д е л и т е л и
- •Тема 2. М а т р и ц ы
- •Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
- •§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
- •§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
- •§ 4. Разложение вектора по базису.
- •§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
- •§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
- •§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
- •§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
- •§ 3. Вычисление площадей и объемов.
- •Тема 1. Линейные действия с векторами
- •Тема 2. Умножение векторов
- •Тема 3. Прямоугольная декартова система координат
- •Тема 4. Геометрические задачи
§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть точка M лежит на отрезке AB и делит его в отношении = α : β.
Известны прямоугольные декартовы координаты точек: A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2). Тогда
координаты точки M(x0; y0; z0) вычисляются по формулам:
x0 = , y0 = , z0 = .
*
B
M
*
z
α
A
*
y
O
x
В частности, если точка M лежит в середине отрезка AB (α = β = 1), то
x0 = , y0 = , z0 = .
Если ввести обозначение: λ = (т.е. = λ), то формулы для координат точки M запишутся в виде:
x0 = , y0 = , z0 = .
Пример.
A(0; -2; 3), B(4; 6; -1), α : β = 3 : 1, M(x0; y0; z0) = ?
x0 = = 3; y0 = = 1; z0 = = 0 M(3; 1; 0).
Координаты центра тяжести треугольника.
Центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника.
B
AK, BL, CN - медианы ABC,
K
N
O - центр тяжести ABC
O
A
C
L
Пусть известны прямоугольные декартовы координаты вершин треугольника ABC:
A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3). Тогда координаты центра тяжести O(x0; y0; z0) вычисляются
по формулам:
x0 = , y0 = , z0 =
Пример.
ABC: A(1; 0; -3), B(2; -1; 5), C(0; -5; -2), O(x0; y0; z0) - ?
x0 = = 1, y0 = = -2, z0 = = 0 O(1; -2; 0) - центр тяжести.
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
Расстояние между двумя точками: d (A; B) = .
Пусть известны прямоугольные декартовы координаты точек: A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2). Тогда:
*
B
z
d
.
A
*
d (A; B) =
y
O
x
Пример.
Найти стороны a, b, c треугольника ABC, где A(0; -2; 1), B(3; -1; 2), C(1; 3; 0).
a = , b = , c = .
B
a
c
A
C
b
, , .
= = = 2; = = = 3;
= = a = 2; b = 3; c = .
Из определения скалярного произведения векторов: = cos - получаем
формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
cos =
Пусть известны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:
, . Тогда получим:
Пример.
Найти углы A, B, C треугольника ABC, где A(0; -2; 1), B(3; -1; 2), C(1; 3; 0).
a = , b = , c = .
B
a
c
, , .
a = 2; b = 3; c = .
A
C
b
cos A = = = = A = arccos 66;
cos B = = = = B = arccos 75,8;
cos C = = = = = C = arccos 38,2.