§ 3. Вычисление площадей и объемов.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

=

Площадь треугольника, построенного на векторах и :

= 

Пусть известны координаты векторов и относительно О.Н.Б. { }:

, . Тогда:

=   + ,

= , где A = , B = -, С = .

Пример.

Найти площадь треугольника ABC, где A(0; -2; 1), B(3; -1; 2), C(1; 3; 0).

= , , .

= =   + = -6 + 4 + 14

= = = 2  = .

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , :

=

Объем тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах , , :

= 

Пусть известны координаты векторов , , относительно О.Н.Б. { }:

, , . Тогда:

, = 

Пример.

Найти объем V тетраэдра ABCD, где A(1; 3; 0), B(2; -2; 1), C(3; 0; -1), D(-2; 1; -3)

=  , , .

= = = 3 = 51  =  51 = 8,5.

Задачи по теме 4.

(Во всех задачах координаты точек указаны в прямоугольной декартовой системе координат)

. Точка M лежит на отрезке AB и делит его в отношении = α : β.

B

M

*

A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), M(x₀; y₀; z₀)

A

*

*

Координаты двух из этих точек известны. Найти координаты третьей точки.

1. A(1; -2; 6), B(4; 1; 0), α : β = 1 : 2 2. A(0; -2; 6), M(-6; 1; 3), α : β = 3 : 2

3. B(7; 2; -5), M(4; -1; -2), α : β = 2 : 3 4. A(1; -3; 3), B(5; -7; 3), α : β = 1 : 3

5. A(1; -3; 5), M(-1; 3; 1), α : β = 2 : 1 6. B(-2; 2; 1), M(-3; 1; -1), α : β = 5 : 1

7. A(4; -5; 3), B(0; -1; 7), α : β = 3 : 1 8. A(-2; 3; 6), M(1; -3; 3), α : β = 3 : 5

9. B(9; -3; 0), M(4; 2; -5), α : β = 2 : 5 10. A(4; -1; 3), B(-2; -7; 9), α : β = 1 : 5

11. A(0; 3; 2), M(2; 1; -1), α : β = 1 : 4 12. B(3; 2; -1), M(1; 3; -2), α : β = 4 : 1

. Найти площадь S, стороны a, b, c и углы A, B, C треугольника ABC.

1. A(5; 3; -1), B(5; 2; 0), C(6; 4; -1) 2. A(1; -2; 3), B(4; 2; -9), C(9; 7; -9)

3. A(3; 3; -1), B(5; 5; -2), C(4; 1; 1) 4. A(6; 2; -3), B(6; 3; -2), C(7; 3; -3)

5. A(2; 1; -1), B(6; -1; -4), C(4; 2; 1) 6. A(-4; -2; 0), B(-1; 2; 12), C(-3; 0; 2)

7. A(0; -3; 6), B(1; -1; 4), C(-1; 9; -6) 8. A(-3; -7; -5), B(6; 5; 15), C(7; 3; 13)

. Дана пирамида ABCD. Найти:

1) объем пирамиды V 2) площадь основания S_ABC

3) высоту H_D, опущенную из вершины D на основание ABC

1. A(1; 2; 0), B(3; 0; -3), C(5; 2; 6), D(8; 4; -9) 2. A(-4; 2; 6), B(2; -3; 0), C(-10; 5; 8), D(-5; 2; -4)

3. A(-2; 0; -4), B(-1; 7; 1), C(4; -8; -4), D(1; -4; 6) 4. A(5; 2; 0), B(2; 5; 0), C(1; 2; 4), D(-1; 1; 1)

5. A(2; -1; 2), B(1; 2; -1), C(3; 2; 1), D(-4; 2; 5) 6. A(0; -1; -1), B(-2; 3; 5), C(1; -5; -9), D(-1; -6; 3)

7. A(2; 1; 4), B(-1; 5; -2), C(-7; -3; 2), D(-6; -3; 6) 8. A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3)

. На плоскости даны 3 точки: A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) и C(x₃; y₃). Построить треугольник ABC и найти:

1) центр тяжести треугольника О(x₀; y₀)

2) площадь треугольника S_Δ

3) стороны треугольника a, b, c

4) радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R:

(результат дать в десятичных дробях)

5) углы треугольника A, B, C (результат дать в градусах)

6) медианы m_A, m_B, m_C

7) высоты h_A, h_B, h_C

8) биссектрису l_A (или l_B, или l_C)

1. A(-2; 1), B(-6; 4), C(6; 7) 2. A(2; -3), B(-1; -7), C(-6; 3)

3. A(3; 2), B(6; 6), C(8; -10) 4. A(-3; 1), B(5; 7), C(2; -11)

5. A(-1; 5), B(-9; 11), C(3; 6) 6. A(0; 2), B(-6; -6), C(-2; -3)

7. A(3; -3), B(9; 5), C(12; 1) 8. A(2; -1), B(-6; -7), C(-1; 5)

Дополнительные задачи.

1. Дан треугольник ABC : A(1; 0; 2), B(1; 2; 2), C(5; 4; 6). Точка L делит отрезок AC в отношении 1:3, CE - медиана, проведенная из вершины С. Найти координаты точки M пересечения прямых BL и CE.

2. Дан треугольник ABC : A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти косинус угла между векторами и , где M - середина ребра DD₁.

B₁

C₁

A₁

D₁

B

C

M

A

D

4. Выразить площадь треугольника ABC на плоскости через координаты его вершин: A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃).

О Т В Е Т Ы К З А Д А Ч А М