§ 4. Исследование систем линейных уравнений.
(
)
A
=
- основная матрица системы (
),
(A|B)=
- расширенная матрица системы (
).
Теорема Кронекера-Капелли.
Для того чтобы система (
)
была совместной (т.е. имела решение),
необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы был равен рангу
расширенной матрицы системы:
(
)
- совместна
rang A
= rang (A|B).
Пусть r = rang A = rang (A|B). Тогда:
1) при r = n система является определенной (т.е. имеет единственное решение);
2) при r < n система является неопределенной (т.е. имеет бесконечно много решений).
Пример. Исследовать систему:
(A|B)=
[из 1-й строки
вычтем 3-ю строку, умноженную на 3; из
2-й
строки
вычтем 3-ю строку, умноженную на 2]
[1-ю строку
разделим на (-4); 2-ю строку разделим на
(-3)]
[из 1-й
строки вычтем 2-ю строку]
[переставим 1-ю и
3-ю строки]
[переставим столбцы]
.
Основная и расширенная матрица приведены к ступенчатым матрицам с 3-мя ненулевыми
строками. Следовательно: rang A = rang (A|B) = r = 3.
По теореме Кронекера-Капелли система совместная. Так как r < n = 4, то система неопределенная.
Ответ: система является совместной и неопределенной (т.е. имеет бесконечно много решений).
§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
(
)
Метод Гаусса состоит из 2-х этапов.
1-й этап (прямой ход метода Гаусса):
Элементарными преобразованиями
над расширенной матрицей система (
)
приводится к равносильной
ей системе со ступенчатой
расширенной матрицей.
2-й этап (обратный ход метода Гаусса):
Решается полученная равносильная система путем последовательного вычисления неизвестных, начиная с последнего уравнения.
Пример. Найти общее решение и сделать проверку; если система совместная и неопределенная, то указать 3 частных решения:
В предыдущем примере эта система была исследована: она является совместной и неопределенной: r = 3, n = 4. Расширенная матрица равносильной системы имеет вид:
Прямой ход метода Гаусса привел к равносильной системе:
Обратный ход метода Гаусса.
В качестве
базисного минора выберем минор
.
Тогда
базисными переменными будут:
, а свободной переменной:
.
Свободная
переменная может принимать любое
действительное значение:
= c, c
R. Из
системы уравнений последовательно
находим все неизвестные:
,
,
+3c.
Общее
решение:
,
c R.
Проверка. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему.
1-е уравнение:
=
=
+ 39 -
- 35 = 4 - верно;
2-е уравнение:
+ 26 -
- 21 = 5 - верно;
3-е уравнение:
+ 13 -
- 21 = -8 - верно.
Запишем общее решение в матричном виде.
X
=
=
=
+
=
+
,
c
R.
Найдем частные решения системы (подставляя вместо «c» произвольные значения).
c
= 0 X
=
;
c = 1
X =
;
c = 5
X =
;
Ответ.
Общее решение: X
=
+
,
c R.
Частные
решения: X1 =
;
X2 =
;
X3 =
.