Сложение и умножение вероятностей

3. Банк «А» может обанкротиться с вероятностью 0,05, а банк «B» – с вероятностью 0,03 независимо от банка «А». Вычислить вероятность того, что:

1) оба банка обанкротятся;

2) обанкротится только второй банк;

3) обанкротится только один банк;

4) хотя бы один банк обанкротится.

Решение. Обозначим А = {банк «А» обанкротится}, В = {банк «В» обанкротится}. События А и В совместные и независимые.

1) Событие С₁ = {оба банка обанкротятся} состоит в совместном наступлении событий А и В.

Р(С₁) = Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = 0,05∙0,03 = 0,0015;

2) Событие С₂ = {обанкротится только второй банк} состоит в совместном наступлении событий и В.

Р(С₂) = Р(∙В) = Р()∙Р(В) = (1 - 0,05)∙0,03 = 0,95∙0,03 = 0,0285;

3) Событие С₃ = {обанкротится только один банк} состоит в совместном наступлении событий и В или А и .

Р(С₃) = Р(∙В + А∙) = Р()∙Р(В) + Р(А)∙Р()= (1 – 0,05)∙0,03 + +0,05∙(1 – 0,03) = 0,95∙0,03 + 0,05∙0,97 = 0,077;

4) Событие С₄ = {хотя бы один банк обанкротится} состоит в появлении хотя бы одного из событий А или В.

P(C₄) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,05 + 0,03 – 0,05∙0,03 =

= 0,0785,

или P(C₄) = P(A + B) = 1 – Р()∙Р() = 1 – 0,95∙0,97 = 0,0785.

Ответ: Р(С₁) = 0,0015; Р(С₂) = 0,0285; Р(С₃) = 0,077; P(C₄) = 0,0785.

Задания для самостоятельной работы

1. Машинистка печатает корреспонденцию. Вероятность допустить ошибку при наборе страницы текста равна 0,25. Найти вероятность того, что четыре страницы текста будут набраны без ошибок.

Ответ: 0,316.

2. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,15, второй – 0,1; третий – 0,25; четвертый – 0,2. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания?

Ответ: 0,541.

3. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,92, второй - 0,93. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал только от одного сигнализатора.

Ответ: 0,139.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

4. На склад поступили приборы, изготовленные тремя заводами. 20% изготовлено 1-м заводом, 50% – 2-м и 30% – 3-м заводом. Вероятности того, что в течение гарантийного срока прибору потребуется ремонт, для продукции каждого из заводов соответственно равны: 0,2; 0,1; 0,3.

1) найти вероятность того, что взятый на складе прибор потребует гарантийного ремонта.

2) взятый со склада прибор не имел заводской маркировки и потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что прибор изготовлен на третьем заводе?

Решение

1) Обозначим событие А = {прибор потребует ремонта в течение гарантийного срока}, а через события B_i ={прибор изготовлен i-м заводом}, i = 1, 2, 3. Тогда:

P(В₁) = 0,2; P(В₂) = 0,5; P(В₃) = 0,3;

P(A/В₁) = 0,2; P(A/В₂) = 0,1; P(A/В₃) = 0,3.

По условию задачи требуется найти вероятность того, что взятый на складе прибор потребует гарантийного ремонта, т.е. найти вероятность события А. Для вычисления воспользуемся формулой полной вероятности

Р(А) = .

Следовательно,

P(A) = 0,2∙0,2 + 0,5∙0,1 + 0,3∙0,3 = 0,18;

2) Известно, что событие А по условию задачи уже произошло. Требуется найти вероятность появления события В₃, поэтому для вычисления воспользуемся формулой Байеса

, i = .

Итак, P(В₃/A) = = 0,5.

Ответ: P(В₃/A) = 0,5.

Задания для самостоятельной работы

1. В ящике имеется 30 деталей. Из них 8 изготовлено на первом станке, 10 – на втором, остальные – на третьем. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0,92, на втором станке – 0,94, на третьем станке – 0,98. Случайно выбранная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке. Ответ: 0,33.

2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Первый контролер в среднем проверяет в 2 раза больше изделий, чем второй. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,95, вторым – 0,9. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие в результате проверки будет признано стандартным. Ответ: 0,93.

3. Три станка-автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Первый автомат производит 2000 деталей за смену, второй – 2200, третий – 1800. Брак первого автомата составляет 2%, второго – 3%, третьего – 5%. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется стандартной?

Ответ: 0,967.