Испытания Бернулли

5. В магазин вошло 8 покупателей. Найти вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,4.

Решение

Так как количество испытаний невелико (n = 8), то для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность совершить покупку равна 0,4, следовательно, p = 0,4, q = 1 – p = 1 – 0,4 = 0,6.

Подставим данные в формулу Бернулли

.

По условию задачи n = 8; m = 3; p = 0,4; q = 0,6.

Ответ: Р_3,8 = 0,28.

Задания для самостоятельной работы

1. Завод производит в среднем 90% изделий высшего сорта. Какова вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий четыре изделия будут высшего сорта? Ответ: 0,328.

2. Вероятность изготовления на автоматическом станке бракованной детали равна 0,1. Какова вероятность того, что из четырех отобранных деталей не будет ни одной бракованной детали? Ответ: 0,656.

3. Среди изделий, изготавливаемых вручную, в среднем встречается 6% с дефектами. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 4 изделий без дефектов окажутся три изделия? Ответ: 0,199.

30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин

1. Пусть Х – сумма вклада (в у.е.) в банке задана распределением вероятностей:

Х	20	40	60	80	100	120
Р(X = xi)	0,01	0,03	0,10	0,30	0,5	0,06

1) найти среднюю сумму вкладов, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

2) построить полигон распределения;

3) как изменится среднее значение суммы вкладов и дисперсия, если все значения случайной величины Х увеличились в два раза?

Решение

1) средняя сумма вкладов равна математическому ожиданию

.

Следовательно,

M(X) = 20∙0,01 + 40∙0,03 + 60∙0,10 + 80∙0,30 + 100∙0,5 + 120∙0,06 = 88,6 у.е.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

D(X) = .

Тогда

D(X) = 20²∙0,01 + 40²∙0,03 + 60²∙0,10 + 80²∙0,30 + 100²∙0,5 + 120²∙0,06 – 88,6² = = 8196 – 7849,96 = 348,04 у.е.²

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле

σ(X) = .

Итак:

σ(X) = 18,6 у.е.

2) полигон распределения вероятностей строится по точкам (x_i, p_i) (см. рисунок).

3) если все значения случайной величины Х увеличились в два раза, то по условию задачи требуется вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2Х. Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии

М(С∙Х) = С∙М(Х),

D(С∙X) = С²∙D(X).

Следовательно,

М(2∙Х) = 2∙М(Х) = 2∙88,6 = 177,2 у.е.;

D(2∙Х) = 2²∙D (Х) = 4∙348,04 = 1392,16 у.е.²

Ответ: M(X) = 88,6 у.е., D(X) = 348,04 у.е.², σ(X) = 18,6 у.е., М(2Х) = =177,2 у.е., D(2∙Х) = 1392,16 у.е.²

Задания для самостоятельной работы

1. Используя ряд распределения случайной величины Х, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Х	3	5	7	9
Р(X=x)	0,3	0,4	0,2	0,1

Ответ: M(X) = 5,2; D(X) = 3,56; σ(X) = 1,89.

2. Используя ряд распределения случайной величины Х, построить полигон распределения и вычислить математическое ожидание случайной величины 5Х.

Х	12	14	17	19
Р(X=x)	0,2	0,2	0,2	0,4

Ответ: M(5X) = 81.

3. Используя ряд распределения случайной величины Х, вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 3Х.

Х	4	5	6	7
Р(X=x)	0,2	0,3	0,4	0,1

Ответ: D(X) = 7,56; σ(X) = 2,75.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Минченков Ю. В. Матрицы и определители. Учебное пособие .– Мн.: ЧИУиП, 2004.- 40 с.