- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
16. Точки разрыва функции и их классификация
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.
Определение 1. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .
Определение 2 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке или определена, но .
Определение 3. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.
Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:
а)
б)
Решение
а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :
, .
Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .
Для точки находим:
,
, .
Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.
График данной функции изображен на рисунке
б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:
,
, .
Так как , то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .
В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:
, .
Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.
Задания для самостоятельной работы
Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:
а) б) .
Ответы:
а) – точка устранимого разрыва;
б) – точка разрыва первого рода.
17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
1. Вычислить , .
Решение
.
2. Найти предельные издержки и вычислить их значение при , если функция издержек имеет вид .
Решение
3. Вычислить , если .
Решение
По формуле производной частного находим
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить , если у = х3 · е3х+5.
2. Найти предельные издержки и вычислить их значение при х=10, если функция издержек имеет вид
С(х) = 0,04х3 – 0,2х2 + 10.
3. Вычислить , если у = ln(cos 8х) + sin3x.
Ответы:
1. = 3х2 · е3х+5 (1+х).
2. (10) = 8.
3. = -8tg8x + 3sin2x · cosx.
18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности видов:
Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя:
-
Если то , когда последний предел существует.
-
Если то ,
когда последний предел существует.
То есть, если мы имеем неопределенности воспользоваться правилом Лопиталя означает: найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.
Пример .
а)
б) .
в)
Задания для самостоятельной работы
Найти предел функции, используя правило Лопиталя.
а) , б) , в) , г) , д).
Ответы: а) 0, б) 0, в) , г) , д) 1.