- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
9. Уравнения плоскости
1. Даны точки М1(0; –1; 3) и М2(-1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору .
Решение
Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой и нормальным вектором. Вектор – нормальный (перпендикулярный) к данной плоскости. Следовательно, уравнение плоскости будет иметь вид:
.
Ответ: .
2. Найти расстояние от точки М(1; 3; –2) до плоскости
2х –2у + z – 4 = 0.
Решение
Применяя формулу получаем
(лин. ед.).
Ответ: (лин. ед.).
3. Найти расстояние между плоскостями:
α1 : 3х + 4у – 2z + 3 = 0,
α2 : 6х + 8у – 4z + 9 = 0.
Решение
Плоскости α1 и α2 параллельны, так как нормальные векторы к ним коллинеарны: (3; 4; -2), (6; 8; -4), .
Расстояние между плоскостями – это расстояние от любой точки М, принадлежащей плоскости α1, до плоскости α2. Найдем координаты точки М(х, у, z) α1. Пусть у = z = 0. Тогда из уравнения плоскости α1:
3х + 40 – 20 + 3 = 0 х = -1 М(-1, 0, 0) α1.
Следовательно:
(лин. ед.).
Ответ: (лин. ед.).
4. Найти величину острого угла между плоскостями:
и .
Решение
Для нахождения острого угла используем формулу: ,
, .
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .
Решение
Пусть – текущая точка плоскости. Тогда векторы , – компланарны. Из условия компланарности трех векторов следует, что их смешанное произведение равно нулю: или .
Вычислив определитель в левой части, получим общее уравнение плоскости .
Ответ: .
Задания для самостоятельной работы
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
2. Какие отрезки отсекает плоскость на осях координат?
3.Найти величину острого угла между плоскостями:
и .
4. Найти расстояние между параллельными плоскостями:
и .
Ответы: 1. .
2. , ,
3. .
4. 8.
10. Кривые второго порядка
1. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением
х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = 0.
Решение
Выделим полные квадраты в данном уравнении:
х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = (х2 – 4х + 4) – 4 + (у2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0
(х – 2)2 + (у + 3)2 = 16.
Учитывая уравнение окружности, имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.
Ответ: (2; –3), R = 4.
-
На параболе у2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой
равен 4,5.
Решение
Так как у2 = 2рх 2р = 6, р = 3. = = Значит, у2 = 6 · 3 = 18 у = = . (3; ) – две такие точки.
Ответ: (3; ).
3. Какую линию определяет уравнение 9х2 – 4у2 = 36? Найти фокусы и эксцентриситет.
Решение
Разделим уравнение на 36. Получим Следовательно, уравнение определяет гиперболу, а = 2, b = 3. Отсюда . Следовательно,
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
-
Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением
х2 – 6х + у2 + 12у + 36 = 0.
-
Найти фокусы и эксцентриситет эллипса 3х2 + 4у2 = 12.
-
Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 5х2 – 4у2 = 20.
-
Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 4х2 – 9у2 = 36.
-
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы
у2 = 8х.
Ответы:
-
М (3; -6), R = 3.
-
F1 (-1; 0), F2 (1; 0), = 0,5.
-
а = 2, в = , F1 (-3; 0), F2 (3; 0), = 1,5.
-
-
F (2; 0), х = -2.