- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
.
Решение
Проверим выполнение условий признака Лейбница.
.
Все условия признака выполнены, ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задания для самостоятельной работы
Исследовать, сходятся или расходятся знакочередующиеся ряды:
1)
2)
Ответ: 1) ряд сходится; 2) ряд сходится.
28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
-
Найти радиус сходимости степенного ряда
.
Решение
Ответ: R = 5.
2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
Тогда
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид
Ответ: R =, интервал сходимости
Задания для самостоятельной работы
Найти радиус, интервал сходимости степенного ряда
1) ;
2)
Ответы:
1) R = 1, интервал сходимости (-1; 1).
2) R =, интервал сходимости
29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
1. На бирже продаются акции 12 предприятий, причем 4 предприятия имеют собственные магазины. Некто случайным образом приобретает акции трех предприятий. Найти вероятность того, что в число этих предприятий войдут:
1) только предприятия, имеющие магазины;
2) только одно предприятие, имеющее магазин;
3) хотя бы одно предприятие, имеющее магазин.
Решение
Для решения этой задачи используем классическое определение вероятности
где m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих появлению события А; n – число всех равновозможных элементарных событий.
1) по условию задачи n – это число способов, которыми можно отобрать 3 предприятия из 12; m – это число способов, которыми можно выбрать 3 предприятия из числа предприятий, имеющих магазины, т.е. из четырех. Так как порядок выбора изделий не имеет значения, то для вычисления количества комбинаций воспользуемся формулой числа сочетаний:
.
Следовательно, n = и m = .
Итак: Р(А) = 0,018;
2) n – не изменится, m – это число способов, которыми можно выбрать 1 предприятие из числа предприятий, имеющих магазины, и, следовательно, 2 предприятия из числа предприятий, не имеющих магазины, т. е. из 12 – 4 = 8 (т.к. всего нужно выбрать три магазина): n = и
m = .
Итак, Р(В) = = = 0,509.
3) Обозначим событие С = {хотя бы одно из приобретенных предприятий имеет магазины), тогда противоположное событие будем обозначать = {ни одно из приобретенных предприятий не имеет магазины}. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому
Р(С) = 1 – Р().
Вычислим вероятность того, что ни одно из приобретенных предприятий не имеет магазины.
n – не изменится, m – это число способов, которыми можно выбрать 0 предприятий из числа предприятий, имеющих магазины, и, следовательно, 3 предприятия из числа предприятий, не имеющих магазины: n = и m = .
Тогда Р() = ≈ 0,255.
Итак: Р(С) = 1 – 0,255 = 0,745.
Ответ: Р(А) = 0,018; Р(В) = 0,509; Р(С) = 0,255.
2. Из ящика, содержащего 20 стандартных и 5 бракованных изделий, извлекаются 2 изделия. Какова вероятность того, что не менее одного изделия окажется стандартным?
Решение
Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности (см. предыдущий пример).
По условию задачи m – это число способов, которыми можно выбрать не менее одного стандартного изделия, т.е. 2 стандартных изделия из 20 или 1 стандартное изделие из 20 и 1 бракованное из 5 изделий. Так как порядок выбора изделий не имеет значения, то для вычисления количества комбинаций воспользуемся формулой числа сочетаний (см. предыдущий пример).
Таким образом,
m = + ∙ = = 190 + 20∙5 = 290.
По условию задачи n – это число способов, которыми можно выбрать 2 изделия из общего количества 25. Следовательно,
Итак, = ≈ 0,967.
Ответ: Р(А) = 0,967.
Задания для самостоятельной работы
-
В трех бухгалтерских документах из двенадцати имеются нарушения. Для проверки инспектор случайным образом выбирает четыре документа. Какова вероятность того, что ни один из документов не содержит нарушений? Ответ: 0,255.
-
На тепловой электростанции работает 10 сменных инженеров, из них 3 молодых специалиста. В смену занято 5 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену окажется 2 молодых специалистов. Ответ: 0,417.
-
Из 30 вопросов программы студент подготовил 20 вопросов. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 2 из 3 поставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет? Ответ: 0,749.
-
В группе из 25 человек 10 хорошистов. Преподаватель вызывает к доске 4 человек. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один хорошист? Ответ: 0,892.