- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
1. Матрицы. Действия с матрицами
-
Найти матрицу , если
Решение
;
.
Ответ: .
-
Найти матрицу , удовлетворяющую уравнению , если
, .
Решение
; .
Ответ: .
-
Даны матрицы . Выяснить, существуют ли произведения и , и если существуют, найти их.
Решение
Матрица имеет размер , матрица имеет размер . Матрицы и согласованные, поэтому матрица – произведение существует и имеет размер . Произведение также существует и имеет размер .
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
-
Вычислить , если
, , .
-
Найти , если
-
Найти матрицу Х, если ,
где
Ответы:
1. .
2..
3. .
2. Обратная матрица и ее вычисление
-
Найти матрицу, обратную матрице , если
Решение
,
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Найти обратную матрицу:
а) ; б) ; в) ; г) .
Ответы:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Определители и их свойства
Найти определитель
1. .
2.
3. Решить уравнение
Решение. Вычислим определитель по правилу треугольников:
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
С помощью правила треугольников вычислить определители
а) ; б) ; в) г) .
Ответы:
а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.
4. Системы линейных алгебраических уравнений
-
Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом
Решение
Основная матрица системы: .
Так как , то существует обратная матрица , и, следовательно, исходная система имеет единственное решение .
==.
Транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу
==.
Найдем решение исходной системы, учитывая, что В = .
= = В = ּ = = .
Ответ:
-
Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера
Решение. Вычислим главный определитель системы:
Вычислим побочные определители системы
По формулам Крамера получаем
Ответ:
-
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Решение
.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным способом и по формулам Крамера.
а) б)
Ответ: а) ; б) система несовместна.
5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
-
Даны векторы , .
Найти угол между ними.
Решение
Векторы и имеют координаты .
Ответ: .
-
При каком значении векторы и ортогональны, если
.
Решение
Так как , то составим скалярное произведение векторов и приравняем его нулю.
.
Ответ: .
-
Вычислить , если .
Решение
Ответ: 8.
-
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или независимой:
.
Решение
Проверим, являются ли векторы компланарными. Найдем смешанное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов равно нулю, векторы компланарны, значит, система векторов линейно зависима.
Ответ: линейно зависима.
-
Даны векторы . Найти их векторное произведение, синус угла между ними и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Решение
(кв.ед.)
Чтобы найти синус угла между векторами и , найдем их длины:
Следовательно:
Ответ: , , (кв.ед.).
-
Определить угол А в ∆АВС с вершинами А (1; 1; 1), В (2; –1; 3),
С (0; 0; 5).
Решение
Так как , то (из координат конца вектора вычитаем координаты начала).
Ответ: .
Задания для самостоятельной работы
-
Найти векторное произведение векторов
, .
-
Определить угол B в ∆АВС с вершинами А (1; 1; 1), В (2; –1; 3),
С (0; 0; 5).
-
Вычислить площадь треугольника с вершинами А (3; 0; –4),
В (–1; 0; 2), С (1; –2; 5).
Ответ: 1. .
2. .
3. .