- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
11. Предел числовой последовательности
1. = (делим числитель
и знаменатель на наивысшую степень п, в данном случае на ) =
.
2.
.
3.
4. При вычислении предела последовательности часто возникает неопределенность . В этом случае для ее раскрытия используют следующий прием: выражение умножают и делят на сопряженное выражение. Проиллюстрируем это на примере:
(делим числитель и знаменатель на п) .
Задания для самостоятельной работы
1. Найти пределы:
а) б) в) г) .
2. Найти пределы:
а) б)
Ответы: 1. а) , б) 0, в) 2, г) 0.
2. а) 4, б) 1.
12. Предел функции одной переменной в точке
1. Найти предел функции.
а)
б)
2. Найти односторонние пределы функции в точке
3. Нахождение предела функции в бесконечности алгоритмически совпадает с нахождением предела числовой последовательности.
а) ;
б) ;
в)
Задания для самостоятельной работы
-
Найти предел функции:
а) , б) , в) .
2. Найти предел функции:
.
Ответы:
1. а) 1, б) , в) .
2. 1.
13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если
Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если .
Пример.
а) функция б.м.ф. при .
б) функция б.б.ф. при
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
-
Сумма и произведение конечного числа б.м.ф при есть б.м.ф.
-
когда где б.м.ф при .
-
Произведение двух б.б.ф при есть б.б.ф.
-
Если б.б.ф при то – б.м.ф. при . Если б.м.ф при и в некоторой окрестности точки то – б.б.ф при (cм. пример).
14. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
или . Учитывая, что , имеем также, что или .
Второй замечательный предел:
или .
Рассмотрим на примерах использование замечательных пределов.
Пример
а) , т. к. ;
б) ,
т. к.
в) .
г) (Проверить самостоятельно);
д) , т. к. ;
е) , т. к.
;
ж)
, т. к.,
.
Задания для самостоятельной работы
Найти предел функции, используя первый и второй замечательные пределы.
а) , б) , в) , г) ,
д) е) .
Ответы:
а) , б) , в) 2, г) , д) , е) .
15. Непрерывность функции в точке
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .
Решение Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :
.
Следовательно,
.
Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .
Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции:
а) ; б)
Решение
а) Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).
б) Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .
Задания для самостоятельной работы
Исследовать следующие функции на непрерывность в указанных точках:
а) б) .
Ответы:
а) – точка разрыва второго рода; – точка непрерывности функции;
б) – точка непрерывности функции; – точка разрыва второго рода.