- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
6. Проекция вектора на ось
1. Даны четыре точки: А (3; 0; 2); В (1; 3; –2); С (–1; 0; 4); D (2; 3; 4). Найти проекцию вектора на вектор , а также проекцию на .
Решение Пусть
(лин. ед.).
(лин.ед.).
Ответ: , .
2. Даны два вектора (3; 4; 2), (1; 1; 2). Найти проекцию вектора на вектор
Решение Найдем координаты векторов и .
.
.
Следовательно:
(лин.ед.).
Задания для самостоятельной работы
1. Даны векторы (3; 2; 1) и (4; 0; 5). Найти проекцию вектора на вектор .
2. Даны точки А (3; 3; –2), В (0; –3; 4), С (0; –3; 0), D (0; 2; –4). Найти проекцию на .
3. Даны векторы (1; -2; 4) и (2; 4; -4). Найти длину вектора .
Ответ: 1..
2.-6.
3. 12.
7. Прямая линия на плоскости
1. Вычислить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 7х + 2у – 14 = 0.
Решение
Преобразуем общее уравнение прямой к уравнению прямой в отрезках на осях.
7
Таким образом, а=2, b=7. Следовательно, (кв. ед.).
Ответ: 7.
2. Составить уравнение прямых, проходящих через середины сторон треугольника с вершинами
А (1; 4); В (3; –2), С (5; – 4).
Решение
Найдем середины сторон треугольника :
– середина АВ,
– середина АС,
– середина ВС.
Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через две точки, имеем:
прямая MN:
прямая МР:
прямая NP:
3.Найти угол между прямыми:
Решение
Пусть Тогда по формуле находим
4. Дан треугольник с вершинами А (–3; 5), В (0; 4), С (–1; 8). Найти длину высоты, опущенной из точки В.
Р
Высота ВК равна расстоянию от точки В до прямой АС. Найдем общее уравнение прямой АС.
Вначале построим уравнение прямой АС как уравнение прямой, проходящей через точки А и С:
3х + 9 = 2у – 10 –3х + 2у – 19 = 0
– общее уравнение прямой АС .
Теперь, используя формулу , получаем:
3,06.
(мы подставили в формулу координаты точки В и вектора ).
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 5х - 2у – 10 = 0.
2. Найти угол между прямыми и .
3. Найти длины отрезков, отсекаемых прямой 3х - 5у – 15 = 0 на осях координат.
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 5) параллельно прямой 2х - 3у + 4 = 0.
Ответы: 1. 5.
2. .
3. 5.
4. 2х - 3у + 13 = 0.
8. Прямая линия в пространстве
1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0 (3; – 4; 2) параллельно прямой:
.
Решение
Из уравнения заданной прямой выпишем вектор (4; –2; 3) — направляющий вектор прямой. Он же является направляющим и для прямой, уравнение которой мы должны построить. Итак, х0 = 3, у0 = –4, z0 = 2 – координаты точки М0; m = 4, n = –2, p = 3 – координаты направляющего вектора.
Имеем:
— параметрические уравнения прямой.
Выражая параметр из этих уравнений, получим канонические уравнения искомой прямой
.
Ответ:, .
2. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, если известно, что она проходит через точки А(2; 3; -5), В(-1; 4; 0).
Решение
Воспользуемся уравнением прямой, заданной двумя точками
.
Следовательно
.
Упрощая, получаем канонические уравнения
прямой .
Задания для самостоятельной работы
1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки А(1; 2; 3), В(4; 5; 8).
-
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 3; -4) перпендикулярно плоскости 3х - 4у + 2z – 1 = 0.
Ответы: 1. .
2. .