- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
-
Найти частное решение дифференциального уравнения
.
Решение
Так как , то
Ответ: .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение
Ответ: y = Cx – 5.
Задания для самостоятельной работы
Решить дифференциальные уравнения:
1. у' = х3.
2. xdy =ydx.
3. ху' = y – 4.
4. xуdy =dx.
Ответы:
1. .
2. у = Сх.
3. y = Cx + 4.
4. .
24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка удовлетворяющего начальному условию
Решение
Данное уравнение решаем с помощью подстановки где – неизвестные функции. Тогда Подставив в исходное уравнение, получим
. (*)
Найдем функцию v (x) из условия
Подставляем полученное выражение для v (x) в уравнение (*):
Тогда – общее решение исходного уравнения.
Из начального условия находим С:
Следовательно, – частное решение исходного уравнения.
Ответ:
Задание для самостоятельной работы
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка удовлетворяющего начальному условию
Ответ:
25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
-
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение
Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда .
Для этого ряда
Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется
необходимое условие сходимости.
Ответ: ряд расходится.
-
Для числового ряда записать три первых члена ряда и исследовать его на сходимость, проверив необходимый признак сходимости.
Ответ: ряд расходится.
Задание для самостоятельной работы
Исследовать на сходимость ряд
.
Ответ: ряд расходится.
26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
-
Исследовать на сходимость ряд
Решение
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Так как , то имеем
Следовательно, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
-
Исследовать на сходимость ряд
Решение
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
.
Параметр . Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Ответ: ряд сходится.
-
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение
Применим признак Даламбера, в нашем случае .
Тогда
Следовательно, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
-
Исследовать на сходимость ряд
Решение
Применим признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
-
Исследовать на сходимость ряд
Применим признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
-
Исследовать на сходимость ряд
Решение
Применим признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задания для самостоятельной работы
Исследовать на сходимость ряд
1. 2. 3.
Ответы: 1. ряд сходится. 2. ряд сходится. 3. ряд сходится.