- •Высшая математика
- •Вопросы для подготовки к комплексной контрольной работе по дисциплине «Высшая математика»
- •1. Матрицы. Действия с матрицами
- •2. Обратная матрица и ее вычисление
- •3. Определители и их свойства
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •5. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Прямая линия на плоскости
- •8. Прямая линия в пространстве
- •9. Уравнения плоскости
- •10. Кривые второго порядка
- •11. Предел числовой последовательности
- •12. Предел функции одной переменной в точке
- •13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •14. Замечательные пределы
- •15. Непрерывность функции в точке
- •16. Точки разрыва функции и их классификация
- •17. Производная функции. Правила дифференцирования функций
- •18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •19. Исследование функций
- •20. Частные производные функции двух независимых переменных
- •23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)
- •27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда
- •2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда
- •29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Испытания Бернулли
- •30. Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных величин
- •Минченков ю. В. Системы линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие .– Мн.: чиУиП, 2004.- 36 с.
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
19. Исследование функций
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение
Функция достигает наибольшего и наименьшего значений либо в точках, подозрительных на экстремум, либо на концах отрезка.
2.Исследовать функцию на экстремум
.
Решение
3. Эластичность спроса относительно цены находится по формуле , где . Найти , если , (у. е.).
Решение
Задания для самостоятельной работы
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х4– 4х2 + 1 на отрезке [-2; 3].
2. Исследовать функцию у = 2х4– 4х2 + 1 на экстремум.
Ответы:
1. унаим. = -1 в точке х = -1 и х = 1, унаиб. = 127 в точке х = 3.
2. х = -1, х = 1 – точки минимума; х = 0 – точка максимума.
20. Частные производные функции двух независимых переменных
1. Найти частные производные первого порядка функций:
а) ; б) .
Решение
а) чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :
.
Аналогично, считая постоянной величиной, находим :
;
б) ;
.
2. Найти полный дифференциал функции .
Решение
Так как , то по формуле полного дифференциала находим
.
-
Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение
Частные производные первого порядка для данной функции:
.
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
,
;
;
.
-
Найти стационарные точки функции двух переменных
.
Решение
Стационарная точка – это точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю:
,
Ответ: стационарная точка .
5. Найти градиент функции в точке .
Решение
Задания для самостоятельной работы
1. Найти стационарные точки функции двух переменных .
2. Найти частные производные первого порядка функций:
а) ; б) ; в) .
Ответы:
1. и .
2. а) ; ;
б) ; ;
в) ; .
21. Неопределенный интеграл. Замена переменной
в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям
1.
2. .
3.
4. .
Задания для самостоятельной работы
1. .
2. .
3.
4.
Ответы: 1. 2. .
3. 4. .
22. Определенный интеграл.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
1. Производительность труда в течение рабочего дня определяется функцией , где время. Определить объем продукции , произведенной рабочим за 6-ти часовой рабочий день, если .
Решение
.
Ответ: 462.
2. Найти площадь, ограниченную параболой и осью абсцисс.
Решение
Найдем точки пересечения параболы и оси абсцисс.
3х - х2 =0 х(3 – х) = 0 х = 0, х = 3.
Следовательно, в формуле
а = 0, b = 3, y2 = 3x – x2, y1 = 0.
(кв.ед.).
Ответ: (кв.ед.).
3. Вычислить интеграл .
Решение
Задания для самостоятельной работы
-
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции:
y = 2 – x2 и y = x .
-
Вычислить интеграл .
-
Вычислить интеграл .
-
Вычислить интеграл .
Ответы:
-
4,5 кв.ед.
-
0.
-
.
-
2 (2 - ln3).