- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
Означення 3.5.1 Різниця називається внутрішньою мірою множини і позначається символом .
Нехайідовільні обмежені неперетинні множини і . Застосуємо нерівність (3.4.9) до множин
. (3.4.14)
Використавши рівність , віднімемо ліву і праву частини нерівністі (3.4.14) від числа . Тоді
(3.4.15)
На підставі означення 3.5.1 нерівність (3.4.15) можливо записати як
, (3.4.16)
де ідовільні обмежені неперетинні множини.
По індукції нерівність (3.4.16) поширюється на випадок скінченної системи обмежених неперетинних множин, а потім, внаслідок монотонності внутрішньої міри і на випадок зчисленної системи неперетинних множин , об’єднання яких обмежене:
.
Оскільки довільне, то маємо нерівність
(3.4.17)
Теорема 3.5 Для того щоб обмежена множина була вимірною, необхідно і достатньо щоб
. (3.4.18)
Доведення. Необхідність. Нехай множина є вимірною. Тоді вимірна множина і
. Отже (3.4.18) виконується.
Достатність. Припустимо тепер, що (3.4.18) має місце. Внаслідок властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді на підставі наслідку 2 і внаслідок того, що
. (3.4.19)
Якщо множина є об’єднання скінченної системи множин , то в якості елементарної множини візьмемо множину , а якщо нескінченної, то виберемо таке , що , і покладемо множину рівною . Тоді або порожня множина, або . Отже , або. Розглянемо різницю . Внаслідок нерівності (3.4.19) . Отже . За означенням вимірної мнжини множина є вимірною.
Теорема доведена.
Приклади вимірних множин і невимірної множини.
1. Будь-яка обмежена відкрита множина вимірна і дорівнює сумі мір складових інтервалів.
Доведення. Якщо відкрита множина є об’єднання скінченної множини складових інтервалів, то елементарна множина і . Нехай . Внаслідок властивості 10 множина є вимірною і .
2. Будь-яка обмежена замкнена множина вимірна і , де найменший сегмент, що містить замкнену множину .
Доведення. Нехай найменший сегмент, що містить замкнену множину . Тоді множина відкрита і отже є вимірною, а тоді, внаслідок властивості 1 вимірних множин, вимірна і (завдяки наслідку із властивості 6) .
3. Будь-яка обмежена не більш ніж зчисленна множина A вимірна і
Доведення. В силу адитивності, якщо множина A скінченна, або адитивності, якщо множина A зчисленна, і тому що міра одно елементної множини дорівнює нулю, маємо .
4. Означення 3.4.2 Необмежена множина називається вимірною, якщо до будь-якого вимірною є множина . Мірою вимірної необмеженої множини називається .
Так як величина не спадає, коли зростає, то границя існує. Якщо вона дорівнює , то .
Приклад. Множини , будь-який промінь з , вимірні. , .
5. Відображення, що визначається функцією фіксоване дійсне число, називається зсувом.
При зсуві будь-який інтервал переходить в інтервал тієї ж довжини. Дійсно, якщо задовольняє нерівність , то . Отже образом інтервала буде інтервал тієї ж довжини. Аналогічно доводиться, що будь-який півінтервал або сегмент перетворюється у півінтервал або сегмент тієї ж довжини. Зсув є взаємно однозначним перетворенням, тому елементарні множини переходять в елементарні тієї ж міри. Отже при зсуві зовнішня міра множин не змінюється, вимірні за Лебегом множини переходять у вимірні тієї ж міри.