- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
Глава III
МІРА ЛЕБЕГА ОБМЕЖЕНИХ МНОЖИН У
3.1. Елементарні множини та їх властивості
Означення 3.1.1 Будь-які інтервали , півінтервали або , або сегменти будемо називати відрізками і позначати літерой . При цьому у число відрізків включаємо порожню множину і сегмент, що складається з одної точки .
Означення 3.1.2 Елементарними множинами в будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних відрізків. Зокрема, будь-який відрізок – елементарна множина.
Одже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і відрізки попарно не перетинаються.
Властивості елементарних множин.
1. Перетин скінченної множини елементарних множин є елементарна множина.
Доведення. Твердження очевидно, якщо розглянути перетин двох відрізків. Розглянемо випадок двох множин і . Маємо .
Загальний випадок доводиться методом математичної індукції.
2. Доповнення елементарної множини до деякого відрізка є елементарною множиною.
Доведення. Твердження очевидно, якщо елементарна множина сама є інтервалом, полуінтервалом або сегментом. Загальний випадок випливає з рівності: .
3. Об’єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина.
Доведення. Розглянемо випадок двох множин і . Нехай містить об’єднання . Розглянемо доповнення множини до : . Внаслідок властивостей 2 і 1 множина елементарна. Тоді за властивостю 2, елементарна, тому, що .
4. Різниця двох елементарних множин є елементарна множина.
Доведення. Зобразимо різницю у вигляду: , де містить об’єднання . Внаслідок властивостей 2 і 1 множина елементарна.
5. Симетрична різниця двох елементарних множин є елементарна множина.
Ця властивість випливає з 4 і 3 , тому що .
-
. Міра елементарних множин та її властивість
Означення 3.2.1 Мірою будь якого відрізка називається його довжина. Позначається міра символом .
Тобто незалежно від того, чи буде відрізок інтервалом , сегментом , півінтервалом або , . Зокрема міра відрізку і порожньої множини дорівнює нулю.
Означення 3.2.2 Мірою будь якої елементарної множини називається сума довжин відрізків , тобто .
Розглянемо наступні властивості.
1. Якщо множини і не мають спільних елементів, то .
Доведення. Позначимо Тоді
.
Методом математичної індукції ця властивість поширюється на випадок скінченної множини неперетинних елементарних множин. Ця властивість називається адитивністю міри.
Наслідок 1. Якщо і елементарні множини і , то
. (3.2.1)
Доведення. Зобразимо множину у вигляді . В силу адитивності міри , а це еквівалентно сформулюваному.
Наслідок 2. Якщо і елементарні множини і , то
.
Ця властивість виливає з (3.2.1), тому що , і називається монотонністю міри.
Наслідок 3. Якщо і елементарні множини, то
(3.2.2)
Доведення. Зобразимо множину у вигляді двох неперетинних множин і далі застосуємо властивість 1 і наслідок 1:
.
Наслідок 4. Якщо елементарна множина міститься в об’єдненні скінченної множини елементарних множин , r, то
.
Доведення. Нехай . Множини попарно не перетинаються і, як легко перевірити, . Отже, внаслідок монотонності і адитивності одержимо
.
2. Якщо елементарна множина міститься в об’єдненні зчисленної множини елементарних множин , то
. (3.2.3)
Доведення. Нехай , . Для кожного відрізку і для будь-якого знайдемо сегмент такий, що і . З іншого боку для кожного відрізка і знай-демо інтервал такий, що і . Тоді
(3.2.4)
і
. (3.2.5)
Оскільки множина міститься в об’єдненні множин , то система інтервалів покриває замкнену обмежену множину =. За лемою Гейне-Бореля існує скінченне покриття, яке позначимо через . Оскільки сегменти попарно не перетинаються, то і внаслідок нерівностей (3.2.4-3.2.5) маємо
.
Отже . Спрямувавши до нуля одержимо (3.2.3). Властивість 2 доведена.
Наслідок 4. Якщо елементарна множина є об’єднання зчисленної множини неперетинних елементарних множин , то
. (3.2.6)
Доведення. В силу (3.2.3) , а з іншого боку, тому, що елементарна множина містить елементарну множину , де довільне натуральне число, то внаслідок монотонності та адитивності міри і отже , що з раніш одержаною нерівністю доводить (3.2.6).